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AUDREPEVIZ
résolu

Soit les points A(-2;-2), B(7;1) et C(2;6).
1)a) Démontrer qu'un point M appartient à la médiatrice (AB) si et seulement si MA² = MB².
B) Soit M un point de coordonnées (x;y). Donner l'expression de MA² et de MB² en fonction de x et de y.
c) En déduire que la droite d'équation (d1) d'équation y=-3x+7 est la médiatrice de (AB)
2) Démontrer de même que la droite (d2) d'équation y=x-1 est la médiatrice de (BC).

3) Placer A,B,C, (d1), et (d2) dans un repère.

4) Soit Z le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
a) Ecrire un système d'équation à 2 inconnues qui permet de déterminer les coordonnées de Z. Justifier.
b) Résoudre ce système

J'ai deja fait :

>prouver que M est au centre de AB donc que Am²=BM²
> trouver l'equation :
-MA²=(xa-xm)+(ya-ym)=(-2-x)²+(-2-y)
-MB²=(xb+xm)²+(yb-ym)²=(7-x)²+(1-y)²

donc (-2-x)²+(-2-y)=(7-x)²+(1-y)²

A partir de la je suis bloquée


Merci beaucoup de prendre du temps pour m'aider

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1)a) La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par le milieu de [AB]. Donc tout point M appartenant à cette médiatrice est à égale distance de A et de B. Soit MA = MB ⇒ MA² = MB².

Réciproquement, si MA² = MB², alors MA = MB. Donc M appartient à la médiatrice de [AB].

b) M(x;y)

MA² = (xA - xM)² + (yA - yM)² = (-2 - x)² + (-2 - y)²
De même, MB² = (7 - x)² + (1 - y)²

c) MA² = MB²

⇔ (-2 - x)² + (-2 - y)² = (7 - x)² + (1 - y)²

⇔ (-2 - x)² - (7 - x)² = (1 - y)² - (-2 - y)²

⇔ (-2 - x + 7 - x)(-2 - x - 7 + x) = (1 - y - 2 - y)(1 - y + 2 + y)

⇔ (-2x + 5)(-9) = (-2y - 1)(3)

⇔ 3(-2x + 5) = (2y + 1)

⇔ 2y = -6x + 15 - 1

⇔ y = -3x + 7

2) (d₂) Médiatrice de [BC]

M(x;y) ∈ (d₂) ⇔ MB² = MC²

MB² = (7 - x)² + (1 - y)²
MC² = (2 - x)² + (6 - y)²

MB² = MC²

⇔ (7 - x)² + (1 - y)² = (2 - x)² + (6 - y)²)

⇔ (7 - x)² - (2 - x)² = (6 - y)² - (1 - y)²

⇔ (7 - x + 2 - x)(7 - x - 2 + x) = (6 - y + 1 - y)(6 - y - 1 + y)

⇔ 5(-2x + 9) = 5(-2y + 7)

⇔ 2y = 7 + 2x - 9

⇔ y = x - 1

3) ...

4) Z centre du cercle circonscrit à ABC.

⇒ Z est l'intersection des médiatrices.

⇒ Z ∈ (d₁) et Z ∈ (d₂)

Soit Z(a;b)

On a alors le système suivant :

b = -3a + 7
b = a - 1

b)

b = a - 1 ⇒ a - 1 = -3a + 7

⇒ 4a = 8 ⇒ a = 2 ⇒ b = 2 - 1 = 1

⇒ Z(2;1)
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