bonjour
exercice 1
1)
a)
uo = 1/3
u1= 3/4
u2= 1
u3= 7/6
u4= 9/7
b)
u(n+1) = [2(n+1) +1] /[(n+1) +3] = (2n+3) / (n+4)
méthode pour étudier les variations de un
On étudie le signe de u(n+1) - un
(2n+3) / (n+4) - (2n+1)/(n+3)
=5
comme 5 est positif
la suite est croissante
2)
pas de difficulté pour calculer les termes
m^me méthode avec Vn
V(n+1) - Vn
= -n²+3n-5
Δ = -11
donc -n²+3n-5 toujours négatif
la suite Vn est décroissante
exercice 2
1)
pas de difficulté pour calculer les termes
2a)
u(n+1) - un
on a u(n+1) = (2n+2) / (n+2)
(2n+2) / (n+2) - [(2n) / (n+1)]
= 2 /(n+1)(n+2)
b)
n>0 donc (n+1)(n+2) toujours positif
2 est positif
donc 2 /(n+1)(n+2)
la suite est croissante
3)
dérivée = 2/(x+1)²
la dérivée est toujours positive
donc f est croissante
par conséquent un est croissante
4)
faire graphique
pas de difficultés
exercice 3
vo = 1
v(n+1) = vn +2n -1
v1 = Vo +2×0-1
= 1+0-1=0
V2= V1 +2×1-1= 0+2-1=1
V3= V2 +2×2-1= 1+4-1=4
V4= V3 +2×3-1= 4+6-1=9
V5 = V4 +2×4 -1=9+8-1=16
2)
v(n+1) -vn
=vn +2n -1-vn
=2n-1
signe de 2n-1
2n-1> 0 => 2n > 1 => n> 1/2
comme n positif ou nul
2n -1 toujours positif
la suite vn est croissante
exercice 4
un = (2n +1) /(n+2)
a)
u1 = (2 +1) /(1+2)= 3/3=1
u2=(2×2+1) /(2+2)= 5/4
U3 =(2×3 +1) /(3+2)= 7/5
b)
u(n+1) = [2(n+1) +1] / [(n+1) +2]
=(2n+3) / (n+3)
u(n+1) -un
=[(2n+3) / (n+3)] - [(2n +1) /(n+2)]
= 3 / [(n+2)(n+3)]
3 / [(n+2)(n+3)] est toujours positif car n≥0
donc un est croissante
2)
a)
pas de difficulté pour calculer les termes
Vo=3
V1 =4
V2=9/2
V3=29/6
v(n+1) - vn = 1/(n+1)
comme le 1er terme de la suite Vo =3
on a Vo positif > 0
et d'autre part
1/(n+1) est toujours > 0
donc Vn est croissante
exercice Bonus
1)
pour n = 4
u = 0
pour n = 20
u = 0
cette suite est définie par
uo = 2
u(n+1) = un² - 2un +1
donc
u1 = uo² -2uo +1
=2² -2×2+1=4-4+1=1
u2= 1² -2×1 +1 = 1-2+1 =0
u3= 0² -2×0+1 =1
u4= 0
quand n est pair un = 0
quand n est impair un = 1
