Bonjour Jm1
Exercice 1
1) P(x) = périmètre du demi-cercle de diamètre AM + périmètre du demi-cercle de diamètre MB +périmètre du demi-cercle de diamètre AB
[tex]P(x)=\dfrac{1}{2}\pi x+\dfrac{1}{2}\pi(6-x)+\dfrac{1}{2}\pi\times6\\\\P(x)=\dfrac{1}{2}\pi x+\dfrac{1}{2}\pi\times6-\dfrac{1}{2}\pi x+\dfrac{1}{2}\pi\times6\\\\P(x)=3\pi+3\pi\\\\\boxed{P(x)=6\pi}[/tex]
2) a) A(0) = 0 et A(6) = 0 car dans chaque cas, la surface hachurée n'existe plus.
b) Tableau de variation possible de la fonction A dans l'intervalle [0 ; 6]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&3&&6\\A(x)&&\nearrow&A(3)&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
c) A(x) = Aire du demi-cercle de diamètre AB - aire du demi-cercle de diamètre AM - aire du demi-cercle de diamètre MB
[tex]A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times3^2-\dfrac{1}{2}\pi\times(\dfrac{x}{2})^2-\dfrac{1}{2}\pi\times(\dfrac{6-x}{2})^2\\\\A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times9-\dfrac{1}{2}\pi\times\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2}\pi\times(3-\dfrac{x}{2})^2\\\\A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times[9-\dfrac{x^2}{4}-(3-\dfrac{x}{2})^2]\\\\A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times[9-\dfrac{x^2}{4}-(9-3x+\dfrac{x^2}{4})]\\\\A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times[9-\dfrac{x^2}{4}-9+3x-\dfrac{x^2}{4})]\\\\A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times(3x-\dfrac{x^2}{2})[/tex]
[tex]\\\\A(x)=\dfrac{1}{2}\pi\times(\dfrac{6x-x^2}{2})\\\\\boxed{A(x)=\dfrac{\pi}{4}(6x-x^2)}[/tex]
[tex]d)\ A(x)=\dfrac{\pi}{4}(6x-x^2)\\\\A(x)=\dfrac{\pi}{4}(9+6x-x^2-9)\\\\A(x)=\dfrac{\pi}{4}[9-(x^2-6x+9)]\\\\\boxed{A(x)=\dfrac{\pi}{4}[9-(x+3)^2]}[/tex]
e) On en déduit que la valeur maximale de A(x) est égale à [tex]\dfrac{9\pi}{4}[/tex] et est obtenu pour x = 3.
Exercice 2
1) Expérimenter avec Géogébra
Figure en pièce jointe.
Selon Géogébra, nous pouvons conjecturer que la somme s est environ égale à 6,93.
2) Démontrer avec les aires.
a) Dans le triangle ACH rectangle en H,
[tex]\cos(\widehat{HAC})=\dfrac{AH}{AC}\\\\\cos(30^o)=\dfrac{AH}{8}\\\\AH=8\times\cos(30^o)=8\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{AH=4\sqrt{3}}[/tex]
b) Aire du triangle ABC.
[tex]Aire_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times BC\times AH\\\\Aire_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times8\times4\sqrt{3}\\\\\boxed{Aire_{ABC}=16\sqrt{3}}[/tex]
[tex]c)\ Aire_{BMC}=\dfrac{1}{2}\times BC\times MI\\\\Aire_{BMC}=\dfrac{1}{2}\times8\times MI\\\\\boxed{Aire_{BMC}=4\times MI}[/tex]
d) De même :
[tex]\boxed{Aire_{CMA}=4\times MJ}\\\\\boxed{Aire_{AMB}=4\times MK}[/tex]
[tex]e)\ Aire_{ABC}=Aire_{BMC}+Aire_{CMA}+Aire_{AMB}\\\\Aire_{ABC}=4\times MI+4\times MJ+4\times MK\\\\Aire_{ABC}=4\times(MI+MJ+MK)\\\\\boxed{Aire_{ABC}=4S}[/tex]
