La première chose à remarquer est que pgcd[tex](5,7)=1[/tex] donc par le théorème de Bachet-Bézout, il existe [tex](a,b) \in \mathbb{Z}^2[/tex] tel que : [tex]5a+7b=1[/tex]
Essayons de trouver une solution particulière à : [tex]5a+7b=1[/tex]. On a directement que pour [tex]a=3, b=-2[/tex] ça fonctionne.
Multiplions cette équation par [tex]5[/tex] et on obtient : [tex]5\times 15 -7\times 10=5[/tex]
En particulier : [tex]5x-7y=5=5\times 15-7\times -10 \Leftrightarrow 5(x-15)-7(y-10)=0 \Leftrightarrow [/tex] [tex]5(x-15)=7(y-10).[/tex]
On remarque ensuite que [tex]7 \mid 5(x-15)[/tex] or pgcd[tex](7,5)=1[/tex] donc d'après le lemme de Gauss on a que [tex]7 \mid (x-15)[/tex]. Donc il existe [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex] tel que : [tex]7k=x-15 \Leftrightarrow x=7k+15[/tex].
Le raisonnement est le même pour trouver [tex]y=5k+10, k\in \mathbb{Z}[/tex].
Enfin [tex]\mathcal{S}=\{(7k+15,5k+10), \ k \in \mathbb{Z}\}[/tex].
