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résolu

bonjour, encore une question maths ( niveau 2nd ), j'aimerai bien de l'aide, merci d'avance.

'' On considère un triangle ABC rectangle en A, avec AB= 6 et AC= 8. Les pts M et N sont respectivement sur les segments [ AB ] et [ AC ] tels que MB= AN. On souhaite déterminer les extremas ( min et max ) de la longueur MN. On pose x = AM.
1) Donner un encadrement des valeurs possibles de x.
2) Montrer que MN² = 2x² - 12x + 36.
3) Soit f la fonction, de courbe représentative C, définie sur [0;6] par f(x)= 2x² - 12x + 36.
a) En factorisant, résoudre l'équation f(x)=36.
b) En déduire l’abscisse du sommet S de la parabole C. Quelle est son ordonnée?
4) Dresser le tableau de variations de f sur [0;6] et résoudre le problème. ''

Répondre :

TRUDELMICHELVIZ
bonjour,
x ∈ [0;6]
triangle rectangle MAN
AM=x
AN=BM
BM=6-x
AN=6-x
MN²=AM²+AN²
MN²= x² +(6-x)²
MN²= x²+36-12x+x²
MN²=2x²-12x+36

si f(x)=36
alors
2x²-12x+36=36
2x²-12x+36-36=0
2x²-12x=0
2x(x-6)=0
x=0   
x-6=0    x=6

La courbe passe par les d'abscisse 0 et 6
l'axe de symétrie de la parabole passe donc au milieu de ces 2 points
soit par le point d'abscisse 3
le sommet de la parabole a donc 3 comme abscisse
si x=3 alors
f(x)= 2(3)²-12(3)+36
f(x)= 2(9)-12(3)+36
f(x)=18-36+36
f(x)=18
S( 3;18)

f(x)=2x²-12x+36
f'(x)= 4x-12
4x-12=0  4x=12    x=12/4  x=3
x                       0                                    3                                6
f'(x)                                  -                                            +
f(x)                     36    décroissante        18      croissante        36
MAX 36
min  18

MN² ∈[ 18;36]
MN∈  [√18; 6]


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