Bonjour,
Au rang n = 1 : S₁ = 1³ = 1 et : 1²(1 + 1)²/4 = 4/4 = 1 donc propriété vérifiée
On suppose donc qu'au rang n, Sn = n²(n + 1)²/4
Au rang (n + 1) :
Sn+1 = Sn + (n + 1)³
= n²(n + 1)²/4 + (n + 1)³ par hypothèse de récurrence
= [n²(n + 1)² + 4(n + 1)³]/4
= [n²(n + 1)² + 4(n + 1)(n + 1)²]/4
= (n + 1)²[n² + 4(n + 1)]/4
= (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4
= (n + 1)²(n + 2)²/4
⇒ propriété héréditaire ⇒ récurrence démontrée
