Soit f la fonction définis sur R telle que f(x)=2x²-2x-1
1) Définir les images c'est calculer f(-1), f(-0.5) et f(0)
f(-1)=2(-1)²-2(-1)-1
f(-1)=3
f(-0.5)=2(-0.5)²-2(0.5)-1
f(-0.5)=0.5
f(0)=2(0)²-2(0)-1
f(0)=-1
On remarque que f(-1)>f(-0.5)>f(0), on ne peut pas déduire la décroissance sur R mais seulement sur ]-1;0[
2) a) Il s'agit de chercher les x pour les quel on a:
f(x)=y
2x²-2x-1=-1
2x²-2x=0
2x(x-1)=0
un prdt de facteur est nul ssi un des facteurs est nul donc:
2x=0 soit x=0
x-1=0 soit x=1
donc les 2 points d'intersection sont: A(0;-1) et B(1;-1)
b) Si K est le milieu de AB alors ses coordonnées sont données par:
x(k)=(xa+xb)/2=(0+1)/2=0.5
y(k)=(ya+yb)/2=((-1)+(-1))/2=-1
donc les coordonnées de K sont (0.5;-1)
c) L'axe de symétrie a alors pour équation: x=0.5
3) Pour étudier les variations de f sur R, nous allons calculer sa dérivée et étudier son signe donc:
f'(x)=(2x²-2x-1)'
f'(x)=4x-2
f'(x)=0 si x=0.5
f'(x)>0 si x>0.5 donc f est croissante sur ]0.5;+∞[
f'(x)<0 si x<0.5 donc f est décroissante sur ]-∞,0.5[
(je le mets en pièce jointe)
4) C'est du dessin je te le laisse
5) Soit f est donnée par:
f(x)=2x²-2x-1
f(x)=2(x²-x)-1 avec x²-x=x²-x+1/4-1/4=(x-1/2)²-1/4 d'où
f(x)=2((x-1/2)²-1/4)-1
f(x)=2(x-1/2)²-1/2-1
f(x)=2(x-1/2)²-3/2 -----> CQFD
