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résolu

bonjour j'aurais vraiment besoin d'aide ..

Une entreprise fabrique des batteries pour téléphone portable. On appelle X la durée de décharge
d'une batterie. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne μ et d'écart type

Les observations montrent que 80% des durées de décharge sont comprises entre 75 et
82 heures et que 5 % des durées de décharge sont inférieures à 75 heures.

1)Déterminer Q(l'écart type ) et μ (la moyenne )

2)Quelle est la probabilité d'avoir une batterie qui se décharge entre 82 et 85 heures ?

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

On pose Z la loi normale centrée réduite (0,1) tel que :

Z = (X - μ)/σ soit X = σZ + μ

avec μ espérance et σ écart-type de la loi normale X.

p(X < 75) = p(σZ + μ < 75) = p(Z < (75 - μ)/σ) et on sait p(X < 75) = 0,05

μ > 75 ⇒ p(Z < (75 - μ)/σ)) = 1 - 0,05 = 0,95

On recherche z dans la table de loi normale centrée réduite (0,1) : z = 1,64 ou 1,65)

⇒ -75 + μ = 1,64σ (Equation 1)

De même : p(75 < X < 82) = p(X < 82) - p(X < 75) = 80% = 0,80

⇒ p(X < 82) = 0,80 + p(X < 75) = 0,80 + 0,05 = 0,85

⇔ p(Z < (82 - μ)/σ) = 0,85

⇒ z = 1,04

⇒ 82 - μ = 1,04σ  (Equation 2)

(1) + (2) ⇒ 82 - 75 = (1,64 + 1,04)σ

⇒ σ = 7/2,68 = 2,612

et μ = 1,64 x 2,612 + 75 = 79.28 (ou μ = 82 - 1,04 x 2,61)

2) p(82 < X < 85) = p(X < 85) - p(X < 82) = p(X < 85) - 0,85  (80% + 5%)

p(X < 85) = p(Z < (85 - 79,28)/2,612) = p(Z < 2,19) = 0,9857

⇒ p(82 < X < 85) = 0,9857 - 0,85 = 0.,1357
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