1) On se place dans le triangle rectangle HDA rectangle en D. Pour trouver l'emplacement de J, on part de:
HA=3*HJ
HJ=(1/3)HA
HJ=(1/3)(√(HD²+DA²) (utilisation de Pythagore)
on sait que HD=AE=3 cm et AD=BC=4cm donc
HJ=(1/3)(√(3²+4²)
HJ=5/3=1.67 cm
Dans ce même triangle, nous avons les points H,I et D sont alignés ainsi que les points H,J et A. Nous allons calculer les rapports HJ/HA et HI/HD:
HJ/HA=1.67/5=0.333
HI/HD=1/3=0.333
On constate donc que HJ/HA=HI/HD donc par la réciproque du théorème de Thalès (IJ)//(AD)
2)a) Nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle CDH rectangle en D donc:
HC²=HD²+DC² avec HD=AE et DC=AB
HC²=AE²+AB²
HC²=3²+5²
HC²=34
HC=√34 --->CQFD
b) Comme (IK)//(DC), on peut alors appliquer le théorème de Thalès dans HDC et donner la relation suivante:
HI/HD=HK/HC=IK/DC donc:
HK=HC*(HI*HD)
HK=HC*(HI/AE)
HK=√34*(1/3)
HK=1.94 cm
3)a) Nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans BCH rectangle en H donc:
HB²=HC²+BC²
HB²=34+16
HB²=50
HB=√50----> CQFD
b) On sait que HBC est rectangle en H, nous pouvons utiliser le théorème de Thalès et donne la relation:
HK/HC=HL/HB=KL/BC
HL=HB*(HK/HC)
HL=√50*((√34/3)/√34)
HL=√50/3
HL=2.36 cm
4) On va utiliser la réciproque de Thalès dans HAB donc:
HJ/HA=5/3/5=5/15=0.333
HL/HB=√50/3/√50=0.333
On a donc HJ/HA=HL/HB donc (JL)//(AB)
