Bonsoir ;
Soit r le rayon de la base du cône , donc on a : 2πr = R théta ,
donc theta = 2πr/R .
Le triangle CHA est rectangle en H , donc par le théorème de Pythagore on a :
CH² = R² - r² = R²(1 - r²/R²) = R²(1 - theta²/(4π²)) .
Le volume V(theta) du cône est : 1/3 x π x r² x CH
= 1/3 x π x r² x R x (1 - theta²/(4π²))^(1/2)
= R^3/(12π) theta²(1 - theta²/(4π²))^(1/2) .
On a : V'(theta) = R^3/(12π) (2theta (1 - theta²/(4π²))^(1/2) - theta^3/(4π²)(1 - theta²/(4π²))^(- 1/2))
= R^3/(12π) theta (1 - theta²/(4π²))^(- 1/2) (2(1 - theta²/(4π²)) - theta²/(4π²))
= R^3/(12π) theta (1 - theta²/(4π²))^(- 1/2) (2 - 3/(4π²) theta²) .
V est maximale si V' s'annule .
V'(theta) = 0 alors 2 - 3/(4π²) theta² = 0 ,
donc : theta = 2π(2/3)^(1/2) .
