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Bonjour Emezenoula
1) a) Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(0-2;3-0;0-0)=(-2;3;0)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;3;0)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)=(0-2;0-0;4-0)=(-2;0;4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}:(-2;0;4)}[/tex]
Il est évident que les coordonnées de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et de [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] ne sont pas proportionnelles.
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C définissent un plan
b) Le plan (ABC) comprend le point A(2;0;0) et admet comme vecteurs directeurs [tex]\overrightarrow{AB}(-2;3;0)[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}(-2;0;4)[/tex].
D'où
[tex](ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\y=0+3s+0t\\z=0+0s+4t \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{(ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\y=3s\\z=4t \end{matrix}\right.}[/tex]
c) Equation cartésienne du plan (ABC)
[tex](ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\y=3s\\z=4t\end{matrix}\right.\\\\\\ (ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\\\s=\dfrac{y}{3}\\\\t=\dfrac{z}{4} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrighttarrow(ABC)\equiv x=2-2\times\dfrac{y}{3}-2\times\dfrac{z}{4}\\\\\\(ABC)\equiv x=2-\dfrac{2y}{3}-\dfrac{z}{2}\\\\(ABC)\equiv6x=12-4y-3z\\\\\boxed{(ABC)\equiv6x+4y+3z-12=0}[/tex]
2) a) Soit (Q) : x - 2z - 2 = 0
Les vecteurs normaux des plans (ABC) et (Q) sont [tex]\boxed{\overrightarrow{n}_{(ABC)}:(6;4;3)}\ \ et\ \ \boxed{\overrightarrow{n}_{(Q)}:(1;0;-2)}[/tex]
Calculons le produit scalaire de ces vecteurs.
[tex]\overrightarrow{n}_{(ABC)}.\overrightarrow{n}_{(Q)}=6\times1+4\times0+3\times(-2)\\\\\overrightarrow{n}_{(ABC)}.\overrightarrow{n}_{(Q)}=6+0-6\\\\\boxed{\overrightarrow{n}_{(ABC)}.\overrightarrow{n}_{(Q)}=0}[/tex]
Puisque ce produit scalaire est nul, les vecteurs normaux des plans (ABC) et (Q) sont orthogonaux.
Par conséquent, les plans (ABC) et (Q) sont orthogonaux.
b) Représentation paramétrique de leur intersection.
[tex]\left\{\begin{matrix}6x+4y+3z-12=0\\x-2z-2=0\end{matrix}\right.[/tex]
Soit [tex]\boxed{z=t}[/tex]
Alors
[tex]\left\{\begin{matrix}6x+4y+3z-12=0\\x-2z-2=0\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}6x+4y+3t-12=0\\x-2t-2=0\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}6x+4y+3t-12=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}6(2t+2)+4y+3t-12=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}12t+12+4y+3t-12=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}4y+15t=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}4y=-15t\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{15}{4}t\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, une représentation paramétrique de l'intersection des plans (ABC) et (Q) est donnée par :
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}x=2t+2\\\\y=-\dfrac{15}{4}t\\\\z=t\end{matrix}\right.}[/tex]
1) a) Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(0-2;3-0;0-0)=(-2;3;0)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}:(-2;3;0)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)=(0-2;0-0;4-0)=(-2;0;4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}:(-2;0;4)}[/tex]
Il est évident que les coordonnées de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et de [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] ne sont pas proportionnelles.
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C définissent un plan
b) Le plan (ABC) comprend le point A(2;0;0) et admet comme vecteurs directeurs [tex]\overrightarrow{AB}(-2;3;0)[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}(-2;0;4)[/tex].
D'où
[tex](ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\y=0+3s+0t\\z=0+0s+4t \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{(ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\y=3s\\z=4t \end{matrix}\right.}[/tex]
c) Equation cartésienne du plan (ABC)
[tex](ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\y=3s\\z=4t\end{matrix}\right.\\\\\\ (ABC)\equiv\left\{\begin{matrix}x=2-2s-2t\\\\s=\dfrac{y}{3}\\\\t=\dfrac{z}{4} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrighttarrow(ABC)\equiv x=2-2\times\dfrac{y}{3}-2\times\dfrac{z}{4}\\\\\\(ABC)\equiv x=2-\dfrac{2y}{3}-\dfrac{z}{2}\\\\(ABC)\equiv6x=12-4y-3z\\\\\boxed{(ABC)\equiv6x+4y+3z-12=0}[/tex]
2) a) Soit (Q) : x - 2z - 2 = 0
Les vecteurs normaux des plans (ABC) et (Q) sont [tex]\boxed{\overrightarrow{n}_{(ABC)}:(6;4;3)}\ \ et\ \ \boxed{\overrightarrow{n}_{(Q)}:(1;0;-2)}[/tex]
Calculons le produit scalaire de ces vecteurs.
[tex]\overrightarrow{n}_{(ABC)}.\overrightarrow{n}_{(Q)}=6\times1+4\times0+3\times(-2)\\\\\overrightarrow{n}_{(ABC)}.\overrightarrow{n}_{(Q)}=6+0-6\\\\\boxed{\overrightarrow{n}_{(ABC)}.\overrightarrow{n}_{(Q)}=0}[/tex]
Puisque ce produit scalaire est nul, les vecteurs normaux des plans (ABC) et (Q) sont orthogonaux.
Par conséquent, les plans (ABC) et (Q) sont orthogonaux.
b) Représentation paramétrique de leur intersection.
[tex]\left\{\begin{matrix}6x+4y+3z-12=0\\x-2z-2=0\end{matrix}\right.[/tex]
Soit [tex]\boxed{z=t}[/tex]
Alors
[tex]\left\{\begin{matrix}6x+4y+3z-12=0\\x-2z-2=0\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}6x+4y+3t-12=0\\x-2t-2=0\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}6x+4y+3t-12=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}6(2t+2)+4y+3t-12=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}12t+12+4y+3t-12=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}4y+15t=0\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\\\\\\\left\{\begin{matrix}4y=-15t\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{15}{4}t\\x=2t+2\\z=t\end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent, une représentation paramétrique de l'intersection des plans (ABC) et (Q) est donnée par :
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}x=2t+2\\\\y=-\dfrac{15}{4}t\\\\z=t\end{matrix}\right.}[/tex]
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