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Bonjour ;
1) On a : |x + 1| = x + 1 pour x + 1 ≥ 0 donc pour x ≥ - 1 ,
et |x + 1| = - x - 1 pour x + 1 < 0 donc pour x < - 1 ,
donc : f(x) = |x + 1| + 1/(x - 1) = x + 1 + 1(x - 1) pour x ≥ - 1 , et comme Df = R\{1}
alors on a : f(x) = x + 1 + 1(x - 1) pour x ≥ - 1 et x ≠ 1 .
On a aussi : f(x) = |x + 1| + 1/(x - 1) = - x - 1 + 1/(x - 1) pour x < - 1 .
2) On a : lim (x --> +∞) 1/(x - 1) = lim (x --> - ∞) 1/(x - 1) = 0 ,
et lim (x --> +∞) |x + 1| = lim (x --> - ∞) |x + 1| = + ∞ ,
donc : lim (x --> +∞) f(x) = lim (x --> +∞) |x + 1| + 1/(x - 1) = + ∞ ,
et lim (x --> - ∞) f(x) = lim (x --> - ∞) |x + 1| + 1/(x - 1) = + ∞ .
On a aussi : lim (x --> 1-) 1/(x - 1) = - ∞ et lim (x --> 1+) 1/(x - 1) = + ∞ ,
donc : lim (x --> 1-) f(x) = lim (x --> 1-) |x + 1| + 1/(x - 1) = - ∞ , donc (Cf) admet une asymptote verticale ayant pour équation : x = 1 .
lim (x --> 1+) f(x) = lim (x --> 1+) |x + 1| + 1/(x - 1) = + ∞ , cela donne aussi que (Cf) admet une asymptote verticale ayant pour équation : x = 1 .
3) On a : lim(x --> + ∞) f(x)/x = lim(x --> + ∞) (x + 1)/x + 1/(x(x - 1)) = 1,
et lim(x --> + ∞) f(x) - x = lim(x --> + ∞) x + 1 + 1/(x - 1) - x
= lim(x --> + ∞) 1 + 1/(x - 1) = 1 ,
donc (Cf) admet une asymptote oblique en + ∞ ayant pour équation : y = x + 1 .
On a aussi : lim(x --> - ∞) f(x)/x = lim(x --> - ∞) (- x - 1)/x + 1/(x(x - 1)) = - 1,
et lim(x --> - ∞) f(x) - x = lim(x --> - ∞) - x - 1 + 1/(x - 1) + x
= lim(x --> - ∞) - 1 + 1/(x - 1) = - 1 ,
donc (Cf) admet une asymptote oblique en - ∞ ayant pour équation : y = - x - 1 .
4) On a : f(- 1) = |- 1 + 1| + 1/(- 1 - 1) = - 1/2 .
On a aussi : lim(x --> - 1) f(x) = lim(x --> - 1) |x + 1| + 1/(x - 1) = 0 - 1/2 = - 1/2 = f(- 1) ,
donc f est continue en x = - 1 .
1) On a : |x + 1| = x + 1 pour x + 1 ≥ 0 donc pour x ≥ - 1 ,
et |x + 1| = - x - 1 pour x + 1 < 0 donc pour x < - 1 ,
donc : f(x) = |x + 1| + 1/(x - 1) = x + 1 + 1(x - 1) pour x ≥ - 1 , et comme Df = R\{1}
alors on a : f(x) = x + 1 + 1(x - 1) pour x ≥ - 1 et x ≠ 1 .
On a aussi : f(x) = |x + 1| + 1/(x - 1) = - x - 1 + 1/(x - 1) pour x < - 1 .
2) On a : lim (x --> +∞) 1/(x - 1) = lim (x --> - ∞) 1/(x - 1) = 0 ,
et lim (x --> +∞) |x + 1| = lim (x --> - ∞) |x + 1| = + ∞ ,
donc : lim (x --> +∞) f(x) = lim (x --> +∞) |x + 1| + 1/(x - 1) = + ∞ ,
et lim (x --> - ∞) f(x) = lim (x --> - ∞) |x + 1| + 1/(x - 1) = + ∞ .
On a aussi : lim (x --> 1-) 1/(x - 1) = - ∞ et lim (x --> 1+) 1/(x - 1) = + ∞ ,
donc : lim (x --> 1-) f(x) = lim (x --> 1-) |x + 1| + 1/(x - 1) = - ∞ , donc (Cf) admet une asymptote verticale ayant pour équation : x = 1 .
lim (x --> 1+) f(x) = lim (x --> 1+) |x + 1| + 1/(x - 1) = + ∞ , cela donne aussi que (Cf) admet une asymptote verticale ayant pour équation : x = 1 .
3) On a : lim(x --> + ∞) f(x)/x = lim(x --> + ∞) (x + 1)/x + 1/(x(x - 1)) = 1,
et lim(x --> + ∞) f(x) - x = lim(x --> + ∞) x + 1 + 1/(x - 1) - x
= lim(x --> + ∞) 1 + 1/(x - 1) = 1 ,
donc (Cf) admet une asymptote oblique en + ∞ ayant pour équation : y = x + 1 .
On a aussi : lim(x --> - ∞) f(x)/x = lim(x --> - ∞) (- x - 1)/x + 1/(x(x - 1)) = - 1,
et lim(x --> - ∞) f(x) - x = lim(x --> - ∞) - x - 1 + 1/(x - 1) + x
= lim(x --> - ∞) - 1 + 1/(x - 1) = - 1 ,
donc (Cf) admet une asymptote oblique en - ∞ ayant pour équation : y = - x - 1 .
4) On a : f(- 1) = |- 1 + 1| + 1/(- 1 - 1) = - 1/2 .
On a aussi : lim(x --> - 1) f(x) = lim(x --> - 1) |x + 1| + 1/(x - 1) = 0 - 1/2 = - 1/2 = f(- 1) ,
donc f est continue en x = - 1 .
j'ajoute ma réponse a celle qui a été donnée,
pour la 5) on étudie la dérivabilité en -1 a l'aide de nos deux fonctions (puisque elels sont différentes à droite et a gauche de -1) on a donc
a gauche de -1:
f(-1+h)-f(-1) /h=( -(-1+h)-1+1/(-1+h-1) )-(-(-1-1)+1/(-1-1)) le tout sur h
je ne détaille pas les calculs, mais lorsque tu fais la limite de tout cela lorsque h tend vers 0, tu obtiens -1
Et lorsque tu fais pareil avec l'autre expression de f(x), on obtient que la limite= 1, on a donc deux limites différentes, ce qui fait que f n'est pas dérivable en -1, graphiquement cela indique que la fonction forme un pic.
6)f'(x) a a nouveau deux expressions.
pour x inférieur a -1 on a f'(x) = -1-(1/(x-1)²) et pour x supérieur à -1 on a f'(x)=1-1/(x-1)².
On étudie le signe de ces deux fonctions. pour la premiere on obtient que f'(x) est tjrs négative, donc f est croissante.
pour la deuxieme on obtient qu'elle est positive pour x<2 ou x>0 ce qui nous donne le tableau en pieces jointe. (attention a rajouter les limites que l'on a calculées, ainsi que les valeurs aux bornes.)
7)D'après le tableau on voit que la courbe coupe la droite des abscisses,et la droite des ordonnées au point 0.
D'après le tableau il n'ya aucun autre point qui coupe ox lorsque x>-1, il nous faut calculer si c'est le cas lorsque x<-1.
Nous calculons donc f(x)=0 avec l'expression f(x) =-x-1+1/(x-1), et nous obtenons x=-√2.
a present tu peux construire la courbe.
pour la 5) on étudie la dérivabilité en -1 a l'aide de nos deux fonctions (puisque elels sont différentes à droite et a gauche de -1) on a donc
a gauche de -1:
f(-1+h)-f(-1) /h=( -(-1+h)-1+1/(-1+h-1) )-(-(-1-1)+1/(-1-1)) le tout sur h
je ne détaille pas les calculs, mais lorsque tu fais la limite de tout cela lorsque h tend vers 0, tu obtiens -1
Et lorsque tu fais pareil avec l'autre expression de f(x), on obtient que la limite= 1, on a donc deux limites différentes, ce qui fait que f n'est pas dérivable en -1, graphiquement cela indique que la fonction forme un pic.
6)f'(x) a a nouveau deux expressions.
pour x inférieur a -1 on a f'(x) = -1-(1/(x-1)²) et pour x supérieur à -1 on a f'(x)=1-1/(x-1)².
On étudie le signe de ces deux fonctions. pour la premiere on obtient que f'(x) est tjrs négative, donc f est croissante.
pour la deuxieme on obtient qu'elle est positive pour x<2 ou x>0 ce qui nous donne le tableau en pieces jointe. (attention a rajouter les limites que l'on a calculées, ainsi que les valeurs aux bornes.)
7)D'après le tableau on voit que la courbe coupe la droite des abscisses,et la droite des ordonnées au point 0.
D'après le tableau il n'ya aucun autre point qui coupe ox lorsque x>-1, il nous faut calculer si c'est le cas lorsque x<-1.
Nous calculons donc f(x)=0 avec l'expression f(x) =-x-1+1/(x-1), et nous obtenons x=-√2.
a present tu peux construire la courbe.
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