Répondre :
B (i;j) est une base de E, c'est a dire que chaque vecteur de E peut s'écrire à l'aide de i et j.
f est un endomorphisme donc c'est une appli linéaire, . Par définition lors d'une application linéaire, f(a+b)=f(a)+f(b)
1/ f(i-j)=3i-j⇔f(i)-f(j)=3i-j
f(i+j)=-i+5j⇔f(i)+f(j)=-i+5j
Je vais exprimer f(i) en fonction de f(j)
f(i)=3i-j+f(j)
Ainsi on a 3i-j+f(j)+f(j)=-i+5j
⇔ 2f(j)=-i+5j-3i+j ⇔ 2f(j)=-4i+6j ⇔f(j)= -2i+3j
MAintenant, f(i) = 3i-j-2i+3j=i+2j.
J'ai donc exprimé les images de la base par l'application linéaire, je vais les placer dans la matrice avec la base en ligne et les image en colonne comme ceci:
f(i) f(j)
[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&-2\\2&3\\\end{array}\right] [/tex]
2/a)maintenant j'ai une nouvelle application , g que je vais à nouveau exprimer.
g(i)=i-j+f(i)
g(j)=8i+f(j)
donc g(i) =i-j+i+2j=2i+j
et g(j)=8i+3j-2i=6i+3j
Ma matrice est la suivante:
[tex] \left[\begin{array}{ccc}2&6\\1&3\\\end{array}\right] [/tex]
b) pour déterminer le Ker de g, c'est a dire son noyau on va utiliser la methode suivante, on cherche la matrice X (x;y) tel que AX=0
On obtient le produit matriciel suivant:
[tex] \left[\begin{array}{ccc}2&6\\1&3\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\\end{array}\right] [/tex]
Ce qui nous donne un systeme de deux equations:
2x+6y=0
x+3y=0
Ces deux equations sont proportionnelles, on ne s'occupe que d'une:
2x+6y=0.
La je bloque toujours pour déterminer le vecteur qui est la base de ceci,il faut trouver le vecteur dont les composantes vérifient cette equation je n'ai pas la méthode claire dsl. Mais on voit bien que e1 en est solution car e1=6i-2j. e1 a pour composantes (6;-2) or 2*6-2*6 est bien égal à 0 . donc le vecteur e1 est une base du noyau de f, et un ensemble engendré par un seul vecteur est une droite.
c) pour l'image de g c'est beaucoup plus simple, on a g(i)=2i+j. et g(j)= 6i+3j, on voit que c'est proportionnel, donc quelque soit le vecteur que l'on prend de E, son image sera proportionnel aux autres, donc l'ensemble des images de g est une droite, engendrée par un seul vecteur qui est effectivement e2=2i+j, c'est la base, mais tous les autres vecteurs ont leurs coordonnées proportionnelles a lui.
d/On a a présent B'(e1,e2) qui est une nouvelle famille. on veut prouver que c'est une base. Déja cette famille est libre car les composantes de ces vecteurs ne sont pas proportionnels: 6/2≠2/1. Comment montrer que c'est pas génératrice, je ne saurais pas t'expliquer à ton niveau...
e)Je vais calculer g(e2)
g(e2)=g(2i+j)=g(2i)+g(j)=2*g(i)+g(j)=2*(2i+j)+6i+3j=4i+2j+6i+3j=10i+5j=5*(2i+j)=5*e2
f)on demande de déduire , mais je ne vois pas comment on peut déduire quoique ce soit sans calculer g(e1)
g(e1)=g(6i-2j)=6g(i)-2g(j)=6*(2i+j)-2*(6i+3j)=12i+6j-12i-6j=0.Donc on a la matrice suivante:
[tex] \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&5\\\end{array}\right] [/tex]
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