1)Exprimons g(x)
[tex]g(x)= f(x^{2} ) \\ g(x) = \frac{2 x^{2} -3}{ x^{2} -3} [/tex]
Les valeurs interdites sont les valeurs pour lesquelles x^{2} -3=0. Ce sont donc √3 et-√3. Donc Dg = IR - {√3;-√3}
2)Résolvons l'inéquation: g(x)<1
[tex]g(x) \leq 1 \\ g(x)-1 \leq 0 \\ \frac{2 x^{2} -3}{ x^{2} -3} -1 \leq 0 \\ \frac{2 x^{2} -3-( x^{2} -3)}{ x^{2} -3} \leq 0 \\ \frac{ x^{2} }{ x^{2} -3} \leq 0[/tex]
Nous savons que x²>0. Etudions le signe de x²-3.
x²-3>0
x²>3, les solutions de cette inéquations sont les x>√3 et les x<-√3
Nous obtenons le tableau de signe suivant (voir PJ 1) et nous voyons bien que g(x)-1<0 lorsque x est compris dans lintervalle ]-√3;√3[.
3) un réel est un maximum si il est atteint pour une valeur de x pour laquelle la dérivée s'annule en changeant de signe.
Déterminons g'(x)
nous avons u= 2x²-3 u'=4x v=x²-3 v'=2x.
[tex]g'(x)= \frac{u'v-uv'}{v^2}= \frac{4x*(x^2-3)-(2x^2-3)*2x}{(x^2-3)^2} =\frac{4x^3 -12x-4x^3+6x}{(x^2-3)^2} = \frac{-6x}{(x^2-3)^2} [/tex]
Le dénominateur est toujours positif, le numérateur est positif lorsque x<0 ce qui nous donne le tableau de signe suivant (voir PJ 2), dans lequel j'ai indiqué les variations de g(x) , on voit bien que en 0 la dérivée s'annule en changeant de signe, et g(0) =1 donc 1 est bien un minimum pour g(x)
( le tableau de signe n'est pas completement exact car √3 et -√3 sont aussi des valeurs interdites pour g , mais ce n'était pas demandé pour la question 3)
