Bonsoir ;
1) [tex]P(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{2} (\frac{1}{2})^{2} + (2 - \sqrt{2} )(\frac{1}{2}) -1 = 2 \sqrt{2} (\frac{1}{4}) + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} -1 [/tex]
[tex]= \frac{ \sqrt{2} }{2} + 1 - \frac{ \sqrt{2} }{2} - 1 = 0 ,[/tex]
donc [tex] \frac{1}{2} [/tex] est une racine de P(x) .
2) Le discriminant de P(x) :
[tex]\Delta = (2- \sqrt{2} )^{2} + 8 \sqrt{2} = 2^{2} + \sqrt{2}^{2} - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} = (2+ \sqrt{2} )^{2} ,[/tex]
donc : [tex] \sqrt{\Delta} = 2 + \sqrt{2} > 0[/tex] , donc P(x) admet deux racines distinctes .
3) Soient [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] les deux racines de P(x) , avec [tex]x_1 = \frac{1}{2}[/tex] ,
donc : [tex]x_1x_2 = - \frac{1}{2 \sqrt{2} } \Rightarrow \frac{1}{2} x_2 = - \frac{1}{2 \sqrt{2} } \Rightarrow x_2 = - \frac{ \sqrt{2} }{2} .[/tex]
4) Les solutions de l'équation (E) sont telles que : [tex]cos(x) = \frac{1}{2} [/tex] et [tex]cos(x) = -\frac{ \sqrt{2} }{2} ,[/tex]
donc [tex]x \in \{ \frac{ \pi }{3} ; \frac{ 3\pi }{4} ; \frac{5 \pi }{4}; \frac{ 5\pi }{3}\} .[/tex]
