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SASHASUZUYAVIZ
résolu

n désigne un nombre entier a trois chiffre dont des centaines est c, le chiffre des dizaines est d et le chiffre des unités est u. 1 ) expliquer pourquoi le nombre n= 99c+9d+c+d+u . 2 ) a)- expliquer pour quoi le nombre 99c+9d est divisible par 3. b) En déduire que n est divisibles 3 dans le seul cas ou c+d+u est divisibles par 3. 3) démontrer de façon analogue que n est divisible par 9 dans le seul cas ou la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Répondre :

Bonjour ;

1) On a : n = 100c + 10d + u = 99c + c + 9d +d + u = 99c + 9d + c + d + u .

2)

a) 99c + 9d = 3 x 33c + 3 x 3d = 3(33c + 3d) ,
donc : 99c + 9d est divisible par 3 .

b) On a : n = 99c + 9d + c + d + u = 3(33c + 3d) + c + d +u .

Si c + d +u  est divisible par 3 alors il existe k un nombre entier naturel  tel
que c + d + u = 3k , donc on a : n = 3(33c + 3d) + 3k = 3(33c + 3d + k) ,
donc n est divisible par 3.

Sinon il existe k un nombre entier naturel  tel que c + d + u = 3k + (1 ou 2) ,
donc on a : n = 3(33c + 3d) + 3k + (1 ou 2) = 3(33c + 3d + k) + (1 ou 2) ,
donc n n'est pas divisible par 3 .

Conclusion : n est divisible par 3 dans le seul cas où c + d + u est divisible par 3 .

3)

a) 99c + 9d = 9 x 11c + 9 x d = 9(11c + d) ,
donc : 99c + 9d est divisible par 9 .

b) On a : n = 99c + 9d + c + d + u = 9(11c + d) + c + d +u .

Si c + d +u  est divisible par 9 alors il existe k un nombre entier naturel  tel
que c + d + u = 9k , donc on a : n = 9(11c + d) + 9k = 9(11c + d + k) ,
donc n est divisible par 9.

Sinon il existe k un nombre entier naturel  tel que c + d + u = 9k + (1 ou 2 ou ... 8) ,
donc on a : n = 9(11c + d) + 9k + (1 ou 2 ou .... 8) = 9(11c + d + k) + (1 ou 2 ou ... 8) ,
donc n n'est pas divisible par 9 .

Conclusion : n est divisible par 9 dans le seul cas où c + d + u est divisible par 9 .





TELEPHONE16VIZ
A retenir, critères de divisibilité.
Un nombre est divisible par 3, lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Je te mets un exemple : 282 = 2 + 8 + 5 =  15, 15 est divisible par 3 car 5 fois 3 = 15
Le nombre n = 99c + 9d + c + d + u 
Je te remets le tableau qui se compose des différentes classes, avec à chaque fois les unités, dizaines et centaines.
Classe des milliards Classe des millions  Classe des mille Classe des unités
 c     d           u            c        d      u             c        d        u      c        d       u
                                                                                        9     9         9 
 99 centaines 9 d + c + d + u c'est = 9 + 9 + 9 = 27 = 2 + 7 = 9 est bien divisible par + 3
Pour démontrer que n est divisible par 3, dans le seul cas où c +d + u u est divisible par 3, c'est l'addition des 3 chiffres qui te donne la réponse, le résultat est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9, lorsque la somme de ses chiffres est lui-même divisible par 9.
si c + d + u = 9 alors ce nombre est divisible par 9

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