Bonjour,
1°/ a) AD = AJ+JD
D'après la figure de l'énoncé, JD = 72 m, et AJ = EB = 48 m
Donc AD = 72+48 = 120 m
b) Le plus grand côté du triangle ADC est le segment [AC], donc :
AD²+DC² = 120²+288² = 97344 m²
Et AC² = 312² = 97344 m²
Donc AC² = AD²+DC²
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADC est rectangle en D.
c) Le triangle ADC est rectangle en D, donc l'angle ACD est droit.
De plus, d'après la figure de l'énoncé, les angles DAB et DCB sont aussi droits.
Or un quadrilatère ayant 3 angles droits est forcément un rectangle.
Donc le terrain ABCD est un rectangle.
2°/ Soient P le périmètre du rectangle ABCD, et x l'arc-de-cercle de G à H.
P = AE+EF+FG+x+HI+IJ+JA
On a :
AE = AB-BE = 288-48 = 240 m
HI = CD-ID-HC = CD-ID-EB = 288-29-48 = 211 m
D'après l'énoncé, FG = 52 m, JA = EB = 48 m et
Comme ABCD est un carré et que E∈[AB], alors le triangle EBF est rectangle en B, donc :
EF² = EB²+BF² = EB²+(BC-GC-FG)²
Or BC = 120 m, GC = EB = 48 m et FG = 52 m
Donc EF² = 48²+(120-48-52)² = 2704 m²
Donc EF = √2704 = 52 m
On sait que le quart d'un cercle de rayon 1 mesure π/2
Donc le quart d'un cercle de rayon 48 mesure 48π/2, donc 24π
Donc x = 24π m
Comme ABCD est un rectangle et que I et J appartiennent respectivement aux segments [CD] et [AD], alors le triangle IDJ est rectangle en D, donc :
IJ² = ID²+DJ² = 29²+72² = 6025 m²
Donc IJ = √6025 = 5√241 m
Donc P = 240+52+52+24π+211+5√241+48 = 603+24π+5√241 m
P = (603+24π+5√241)*10
Soient v la vitesse du vélo de Léo et t le temps que prend Léo pour faire le tour.
v = 12 km/h = 12/3.6 m/s = 10/3 m/s
Donc t = P/v = (603+24π+5√241)/(10/3) ≈ 226.8057 s
Donc Léo prend environ 226.8057 secondes pour faire le tour du terrain en vélo.
