Bonsoir,
Partie 1 :
Saisir M
U ← 1
N ← 0
S ← U
Pour I allant de 1 à M
U ← (1/3)U+N-2
N ← N+1
S ← S+U
FinPour
Afficher S
En entrant M = 10, on obtient S ≈ 34.12
Donc [tex]U_{10} \approx 34.12[/tex]
Partie 2 :
1. [tex]v_{n+1} = -2u_{n+1}+3(n+1)- \frac{21}{2} = -2( \frac{1}{3}u_n+n-2 )+3n+3- \frac{21}{2} = [/tex] [tex]- \frac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3- \frac{21}{2} = - \frac{2}{3}u_n+n- \frac{7}{2} = \frac{1}{3}( -2u_n+3n- \frac{21}{2}) =[/tex] [tex]\frac{1}{3} v_n[/tex]
Donc la suite [tex](v_n)[/tex] est géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme [tex]v_0 = -2u_0+3(0)- \frac{21}{2} = -2(1)+3(0)- \frac{21}{2} = - \frac{25}{2} [/tex]
2. a) Comme [tex](v_n)[/tex] est géométrique :
[tex]v_n = v_0*q^n = - \frac{25}{2}*( \frac{1}{3} )^n [/tex]
b) [tex]v_n = -2u_n+3n- \frac{21}{2} \Rightarrow 2u_n = -v_n+3n- \frac{21}{2} \Rightarrow u_n = - \frac{1}{2} v_n+ \frac{3}{2}n- \frac{21}{4}[/tex]
Or [tex]- \frac{1}{2} v_n= (- \frac{1}{2} )(- \frac{25}{2})*( \frac{1}{3} )^n = \frac{25}{4}*( \frac{1}{3} )^n = t_n[/tex]
Et [tex]\frac{3}{2}n- \frac{21}{4} = w_n[/tex]
Donc [tex]u_n = t_n + w_n[/tex]
c) Pour la suite [tex](t_n)[/tex], on retrouve tout simplement la formule explicite d'une suite géométrique : [tex]t_n = t_0*q^n[/tex]
Donc la suite [tex](t_n)[/tex] est géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme [tex]t_0 = \frac{25}{4}[/tex]
Pour la suite [tex](w_n)[/tex], on retrouve tout simplement la formule explicite d'une suite arithmétique : [tex]w_n = rn+w_0[/tex]
Donc la suite [tex](w_n)[/tex] est arithmétique de raison r = 3/2 et de premier terme [tex]w_0 = - \frac{21}{4}[/tex]
3. a) [tex]T_{10}= \frac{t_0(1-q^{10+1})}{1-q} = \frac{\frac{25}{4}(1-( \frac{1}{3}) ^{11})}{1- \frac{1}{3}}= \frac{25}{4}(1-( \frac{1}{3}) ^{11})* \frac{3}{2} = \frac{75}{8}(1-( \frac{1}{3}) ^{11} =[/tex] [tex]\frac{75}{8}-\frac{75}{8}( \frac{1}{3}) ^{11}[/tex]
[tex]W_{10} = \frac{(10+1)(w_0+w_{10})}{2} = \frac{11(- \frac{21}{4} + \frac{3}{2} *10 - \frac{21}{4})}{2} = \frac{99}{4} [/tex]
Donc [tex]U_{10} = T_{10}+W_{10} = \frac{75}{8}-\frac{75}{8}( \frac{1}{3}) ^{11}+ \frac{99}{4} \approx 34.12[/tex]
On retrouve le même résultat que dans la partie 1.
b) [tex]T_n= \frac{t_0(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{\frac{25}{4}(1-( \frac{1}{3}) ^{n+1})}{1- \frac{1}{3}}[/tex] [tex]= \frac{\frac{25}{4}- \frac{25}{4}( \frac{1}{3}) ^{n+1}}{ \frac{2}{3}} = \frac{3}{2}( \frac{25}{4}- \frac{25}{4}( \frac{1}{3}) ^{n+1}) = \frac{75}{8}- \frac{75}{8}( \frac{1}{3}) ^{n+1}[/tex]
[tex]W_n=\frac{(n+1)(w_0+w_n)}{2} = \frac{(n+1)(- \frac{21}{4} + \frac{3}{2} n - \frac{21}{4})}{2}[/tex] [tex]= \frac{(n+1)( \frac{3}{2} n - \frac{21}{2})}{2} = \frac{ \frac{3}{2} n^2 - \frac{21}{2} n + \frac{3}{2} n - \frac{21}{2}}{2} = \frac{ \frac{3}{2} n^2 - \frac{18}{2} n - \frac{21}{2}}{2} = [/tex] [tex]\frac{1}{2} (\frac{3}{2} n^2 - \frac{18}{2} n - \frac{21}{2}) = \frac{3}{4} n^2 - \frac{18}{4} n - \frac{21}{4}[/tex]
Donc [tex]U_n = \frac{75}{8}- \frac{75}{8}( \frac{1}{3}) ^{n+1} + \frac{3}{4} n^2 - \frac{18}{4} n - \frac{21}{4} = \frac{3}{4} n^2 - \frac{18}{4} n + \frac{33}{8}- \frac{75}{8}( \frac{1}{3}) ^{n+1}[/tex]
