Soit les points A(x(a),y(a)) et B(x(b);y(b)) que l'on place dans un repère orthonormé.
On suppose que y(b)=y(a) et x(a)≤x(b).
On considère le point M (x(m),y(m)), si le point M est le milieu de [AB] alors on a les 3 points A, B et M alignés et comme y(a)=y(b) donc on aura:
y(m)=y(b)=y(a) donc:
y(a)+y(b)=2y(m) d'où:
y(m)=(y(a)+y(b))/2-----> CQFD
Comme par hypothèse, M est milieu de [AB] donc:
[AB]=2[MB]=2[AM] donc:
2[MB]=2[AM] (ATTENTION LE SENS EST IMPORTANT !)
2(√(x(b)-x(m))²+(y(b)-y(m))²)=2(√(x(m)-x(a))²-(y(m)-y(a))²)
comme on a, par hypothèse, y(b)=y(a)=y(m) donc:
y(b)-y(m)=y(m)-y(a)=0 d'où:
2√(x(b)-x(m))²=2√(x(m)-x(a))²
On simplifie par 2 et on élève au carré donc:
(x(b)-x(m))²=(x(m)-x(a))²
on prends la racine carrée et comme [AB]>0 (distance négative n'a pas de sens !) donc:
x(b)-x(m)=x(m)-x(a)
2x(m)=x(a)+x(b)
x(m)=(x(a)+x(b))/2 ----> CQFD
