Bonjour,
1) P₀ = 10000
P₁ = 10000 - 25%x10000 + 3000 = 10000 - 2500 + 3000 = 10500
P₂ = 10500 - 25%x10500 + 3000 = 10500 - 2625 + 3000 = 10875
2) P₁ - P₀ = 500
et P₂ - P₁ = 375 ≠ 500 donc (Pn) n'est pas arithmétique
P₁/P₀ = 1,05
P₂/P₁ = 10875/10500 = 1,03..≠ 1,05 donc (Pn) non géométrique
3) Wn = Pn - 12000
Wn+1 = Pn+1 - 12000
= (Pn - 25%Pn + 3000) - 12000
= 0,75Pn - 9000
= 0,75(Pn - 12000)
= 0,75Wn
donc (Wn) suite géo de raison q = 0,75 et de premier terme W₀ = P₀ - 12000 = -2000
4) On en déduit :
Wn = -2000 x (0,75)ⁿ
lim Wn quand n→+∞ = 0 car (0,75)ⁿ→0⁺
5) Wn = Pn - 12000
⇒ Pn = Wn + 12000 = -2000x(0,75)ⁿ + 12000
6) Quand n→+∞, lim Pn = 0 + 12000 = 12000
Le parc de véhicules tend vers 12000
7) Pn+1 = -2000x(0,75)ⁿ⁺¹ + 12000
⇒ Pn+1 - Pn = -2000x(0,75)ⁿ x [(0,75) - 1]
= 500 x (0,75)ⁿ
Donc Pn+1 - Pn > 0 ⇒ (Pn) croissante
8)...
9) Pn > 11950 ⇒ n ≥ 13
10) taxe = Somme de 0 à 15 de 130 x Pn = 130 x Somme des Pn de n = 0 à n = 15
Somme des Pn = Somme des (-2000)x(0,75)ⁿ + 12000
= (-2000) x Somme des (0,75)ⁿ + 16x12000 (16 car 16 termes de 0 à 15)
= (-2000) x (1 - (0,75)¹⁶)/(1 - (0,75)) + 192000
≈ (-2000) x 3,96 + 192000
≈ 184080
⇒ Taxe ≈ 130 x 184080 ≈ 23 930 423 €
