Bonjour,
1) faux
2) faux (x=0)
3) vrai (x=0)
4) vrai (tout rationnel est un réel)
5) vrai 1<2<3 et 1+2+3<90
6) faux : y² + xy + x² = 0
⇒ Δ = x² - 4x² = -3x² < 0
7) Si x>0 (1 - x)/(1 + x³) - 1 = -(x + x³)/(1 + x³) < 0 <1
Si x < 0, (1 + x)/(1 + x³) - 1 = (x - x³)/(1 + x³)
il faut étudier cette fonction f
on dérive : (1 - 3x² - 2x³)/(1 + x³)²
Puis signe de (1 - 3x² - 2x³)...
donc dérivée... -6x - 6x² = -6x(1 + x)
etc... dérivée < 0 pour x ≥ 1/2
donc f atteint un maximum pour x = 1/2
Donc vrai
8) faux (à cause du "et")
9) faux : 2/1 ∈ Q mais √2 ∉ Q
10) vrai : n < 2 ⇒ n = 0 ou n = 1
11) faux : n=24 est > 5 et divisible par 12 mais 24/12=2
12) faux n/3 et n/4 ⇒ n/12 mais pas 3/n et 4/n
13) √(n²+ 7n + 12) = √(n+3)(n+4)
(n+3)(n+4) peut-il être un carré ?
Si on pose k = n+3, k(k+1) carré ? soit k(k+1) = q² q∈N ?
soit à résoudre : k² + k - q² = 0
⇒ k = [-1 + √(1 + 4q²)]/2 en éliminant la solution négative
⇒ il faut (1 + 4q²) carré, soit 1 + 4q² = m² m∈N
4q² = m² - 1 ⇒ q = √(m² - 1)/2
si m est pair, m² - 1 = (m-1)(m+1) est impair, donc q impossible donc k impossible donc n impossible
si m est impair, m² pair et m²-1 impair, donc etc...
Donc dans tous les cas, impossible
Donc vrai
(j'ai fait ça un peu vite car je dois quitter, vérifie bien stp)
