Bonjour,
Ex24)
U0 = 5 et Un+1 = Un/3 + 1
U1 = U0/3 + 1 = 8/3 < U0
On suppose qu'au rang n, Un+1 < Un
Un+2 = Un+1/3 + 1
Un+1 < Un par hypothèse de récurrence
⇒ Un+1/3 + 1 < Un/3 + 1
Or Un/3 + 1 = Un+1
Donc Un+2 < Un+1
récurrence démontrée ⇒ (Un) décroissante
Ex30)
1)
k 2k-1 somme de 1 à k des (2k-1)
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 7 16
⇒ On peut conjecturer que la somme vaut k²
2)
initialisation : k=1 Somme = 1 = 1² = k² propriété vérifiée
hypothèse : propriété vraie au rang k
Au rang (k+1)
Somme de 1 à (k+1) des (2k-1)
= Somme de 1 à k des (2k-1) + 2(k+1) - 1
= k² + 2k + 1 par hypothèse de récurrence
= (k + 1)²
⇒ Propriété vraie au rang (k+1)
