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résolu

bonjour on se propose de déterminer les points à coordonnées entieres de la courbe c d'équation y=(x+8)/(2x+5)
1- on suppose qu'il existe un couple(x,y) d'entiers relatifs tels que y=(x+8)/(2x-5)
a-montrer que 2x-5 divise 2x+6
b-En déduire que 2x-5 divise 21 et en déduire l'ensemble E des valeurs possibles de x
2-a-toutes les valeurs de l'ensemble e répondent elles au problème posé?
b-donner ainsi tous les points de c ayant des coordonnés entieres
Merci

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1)a) je suppose qu'il faut lire (2x - 5) divise (2x + 16) et non (2x + 6)

Auquel cas :

y est un entier relatif ⇒ (2x - 5) divise (x + 8) puisque y = (x + 8)/(2x - 5)

Donc y divise 2(x + 8) soit y divise (2x + 16)

b) 2x+ 16 = (2x - 5) + 21

Donc (2x - 5) divise (2x + 16) ⇒ (2x - 5) divise 21

21 = 1 x 3 x 7 OU 21 = (-1) x (-3) x 7 OU  21 = (-1) x 3 x (-7) OU 21 = 1 x (-3) x (-7)

Donc : 

2x - 5 = 1 ⇒ x = 3
ou
2x - 5 = 3 ⇒ x = 4
ou
2x - 5 = 7 ⇒ x = 6
ou
2x - 5 = -1 ⇒ x = 2
ou
2x - 5 = -3 ⇒ x = 1
ou
2x - 5 = -7 ⇒ x = -1

⇒ E = {-1,1,2,3,4,6

2)a)
x = -1 ⇒ y = (x + 8)/(2x - 5) = -7/-7 = 1

x = 1 ⇒ y = 9/-3 = -3

x = 2 ⇒ y = 10/-1 = -10

x = 3 ⇒ y = (x + 8)/(2x - 5) = 11

x = 4 ⇒ y = 12/3 = 4

x = 6 ⇒ y = 14/7 = 2

tous les couples sont bien des entiers relatifs

b) ...
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