Bonjour,
1. Pour tout réel x non-nul :
f(x) = √(x²+1) = √(x²(1+(1/x²))) = √(x²)√(1+(1/x²))
Or √(x²) = -x ou x, donc √(x²) = |x|
Donc f(x) = |x|√(1+(1/x²))
2. f(x)-g(x) = |x|√(1+(1/x²))-|x| = |x|(√(1+(1/x²))-1)
Or pour tout réel x non-nul, x² > 0 ⇒ 1/x² > 0 ⇒ 1+1/x² > 1 ⇒ √(1+(1/x²)) > 1 ⇒ √(1+(1/x²))-1 > 0
De plus, pour tout tout réel x non-nul, |x| > 0
Donc |x|(√(1+(1/x²))-1) > 0 ⇒ f(x)-g(x) > 0
3. Donc d'après la réponse à la question question précédente, Cf est au-dessus de Cg pour tout réel x non-nul.
Il ne reste donc plus qu'à étudier la position relative des deux courbes en 0 :
f(0) = √(0²+1) = √1 = 1
Et g(0) = |0| = 0
Donc en 0, Cf est également au-dessus de Cg.
Donc Cf est finalement au-dessus de Cg pour tout réel x.
4. Donc Arthur a tort.
