Bonjour Pocahontas8
[tex]1)\ f_1(x)=-\dfrac{1}{x^2}\\\\f_2(x)=\dfrac{2}{x^3}\\\\f_3(x)=-\dfrac{6}{x^4}\\\\\\\\2)\ f_n(x)=\dfrac{a_n}{x^{n+1}}\\\\a)\ f_1(x)=-\dfrac{1}{x^2}\Longrightarrow\boxed{a_1=-1}\\\\f_2(x)=\dfrac{2}{x^3}\Longrightarrow\boxed{a_2=2}\\\\f_3(x)=-\dfrac{6}{x^4}\Longrightarrow\boxed{a_3=-6}\\\\f_4(x)=\dfrac{24}{x^5}\Longrightarrow\boxed{a_4=24}[/tex]
b) Nous pourrions conjecturer que [tex]\boxed{a_5=-120}[/tex]
En effet
[tex]a_1=-1\\\\a_2=-2a_1=(-2)(-1)=(-1)^2\times2\ \ =2\\\\a_3=-3a_2=(-3)(-2)(-1)=(-1)^3\times3!\ \ =-6\\\\a_4=-4a_3=(-4)(-3)(-2)(-1)=(-1)^4\times4!\ \ =24\\\\\Longrightarrow a_5=-5a_4=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=(-1)^5\times5!\ \ =-120[/tex]
c) Nous pouvons alors conjecturer que pour tout entier naturel n non nul,[tex]a_n=(-1)^n\times n![/tex]
Démonstration par récurrence.
Initialisation
Montrons que la propriété est vraie pour n = 1
[tex]a_1=-1=(-1)^1\times1!\Longrightarrow\boxed{a_1=(-1)^1\times1!}[/tex]
Hérédité
Si pour un nombre entier naturel non nul n, nous avons [tex]a_n=(-1)^n\times n![/tex]
Alors montrons que nous avons également [tex]a_{n+1}=(-1)^{n+1}\times(n+1)![/tex]
En effet
[tex]f_{n+1}(x)=[f_n(x)]'\\\\f_{n+1}(x)=[\dfrac{a_n}{x^{n+1}}]'\\\\f_{n+1}(x)=\dfrac{-(n+1)\times a_n}{x^{n+2}}[/tex]
D'où
[tex]a_{n+1}=-(n+1)\times a_n\\\\a_{n+1}=-(n+1)\times(-1)^n\times n!\\\\a_{n+1}=(-1)\times(-1)^n\times(n+1)\times n!\\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=(-1)^{n+1}\times(n+1)!}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, [tex]a_n=(-1)^n\times n![/tex]
