bonjour
a)
pour f(x) =x²+4x +5
c'est une fonction polynôme de degré 2
(parabole)
elle a un minimum car a est positif
α=-b/2a = -4/2 = -2
β=f(α) = f(-2)
(-2)²+(-2)4 +5 = 4-8+5=1
le minimum de la fonction est 1
limite de f(x) (quand x tend vers +∞ ou -∞) = +∞
donc la fonction est minorée par 1
1≤ f(x)
et à fortiori elle l'est par -1
-1≤ f(x)
b)
on fait un encadrement
x²≥0
x²+1≥0+1
x²+1≥1
1(x²+1) ≥1
produit en croix
1≥ 1/(x²+1)
1/(x²+1) ≤ 1
comme le numérateur et le dénominateur sont toujours strictement positifs, alors le quotient est strictement positif
f(x) est donc minorée par 0
0 <1/(x²+1) ≤ 1
pour (3x²+1)/(x²+1)
m^me méthode
ou alors plus simple avec les limites
limites de f(x) (quand x tend vers + ou - ∞) = 3
et limite en 0 = 1
donc la fonction est minorée par 1
et majorée par 3
1 ≤ f(x) < 3
