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ZEINAAVIZ
résolu

Bonjour vous pourriez m'aider avec cet exercice svp?

Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Soient I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB] ,[BC],[CD] et [DA].
1). Montrer, à l'aide de la relation de Chasles, que vecteur IJ= 1/2 vecteur AC.
2). On admet que vecteur LK=1/2 vecteur AC. En déduire la nature du quadrilatère IJKL.

Partout où j'ai mis "vecteur", il y a une flèche au dessus mais je ne sais pas comment la mettre. Voila merci d'avance

Répondre :

GREENCALOGEROVIZ
Bonjour,
Pour commencer, il est toujours bon de faire le dessin (je te le laisse).
1) Pour faire cette démonstration, je suis parti du fait que le point I est le milieu de [AB] donc nous pouvons écrire la relation vectorielle suivante:
AI=(1/2)AB
(1/2)AB=AC+CJ+JI
(1/2)AC+(1/2)CB=AC+CJ+JI
comme J est le milieu de [BC] donc: CJ=(1/2)CB donc:
(1/2)AC+(1/2)CB=AC+(1/2)CB+JI
(1/2)AC=AC+JI
(-1/2)CA=JI
IJ=(1/2)AC----> CQFD (ne pas oublier les flèches !)

2) D'après ce qui est dit, on a LK=(1/2)AC. On sait aussi que IJ=(/2)AC donc nous pouvons alors écrire que:
IJ=LK
Ceux-ci implique que [LK]=[IJ] et que [LK]//[IJ] donc on a un quadrilatère qui à 2 côtés opposés qui sont égaux et parallèles donc IJKL est un parallélogramme.
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