Bonjour Laura210
[tex]f(x)=4x^3-6x^2+3x+62[/tex] défini sur [-10 ; 10]
[tex]1)\ a)\ f'(x)=12x^2-12x+3\\\\f'(x)=3(4x^2-4x+1)\\\\\boxed{f'(x)=3(2x-1)^2}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-10&&\dfrac{1}{2}&&10\\&&&&&\\f'(x)=3(2x-1)^2&&+&0&+&\\&&&&&\\f(x)&-4568&\nearrow&\dfrac{125}{2}&\nearrow&3492\\ \end{array}[/tex]
b) La fonction f est continue et croissante sur l'intervalle [-10 ; 10].
f(-10) = -4568 < 0 et f(10) = 3492 > 0.
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution [tex]\alpha[/tex] sur l'intervalle [-10 ; 10].
c) Par le tableur de la calculatrice, nous obtenons [tex]\boxed{\alpha=-2}[/tex]
Preuve :
[tex]f(-2)=4\times(-2)^3-6\times(-2)^2+3\times(-2)+62\\\\f(-2)=4\times(-8)-6\times4-6+62\\\\f(-2)=-32-24-6+62\\\\\boxed{f(-2)=0}[/tex]
d) En tenant compte de la croissance de f et de l'existence de la solution -2 de l'équation f(x) = 0, nous en déduisons le tableau de signes de f suivant :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-10&&-2&&10\\&&&&&\\f(x)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Si x ∈ [-10 -2], alors f(x) ≤ 0
Si x ∈ [-2 ; 10], alors f(x) ≥ 0
[tex]2)\ a)\ (x+2)(4x^2-14x+31)\\\\=4x^3-14x^2+31x+8x^2-28x+62\\\\=4x^3-14x^2+8x^2+31x-28x+62\\\\=4x^3-6x^2+3x+62\\\\=f(x)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=(x+2)(4x^2-14x+31)}[/tex]
b) Signe de f(x) sur l'intervalle [-10 ; 10]
[tex](x+2)(4x^2-14x+31)=0\\\\\longrightarrow x+2=0\Longrightarrow x=-2\\\\\longrightarrow 4x^2-14x+31=0\\\Delta=(-14)^2-4\times4\times31=196-496=-300\ \textless \ 0\Longrightarrow\text{pas de racine}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-10&&-2&&10\\&&&&&\\x+2&&-&0&+&\\4x^2-14x+31&&+&+&+&\\&&&&&\\f(x)=(x+2)(4x^2-14x+31)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Nous retrouvons les mêmes signes que dans la question 1d).
Si x ∈ [-10 -2], alors f(x) ≤ 0
Si x ∈ [-2 ; 10], alors f(x) ≥ 0
