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Bonjour, j'ai un dm et je ne comprends pas vraiment comment faire les calculs: Les données statistiques de la population de l'Allemagne entre 1998 et 2010 permettent une modélisation de 'évolution de sa population à partir de la fonction f(x)=17,951x^2+112,01x+82321 pour l'année 2000 + x, avec -2 <(ou égal) x <(ou égal) 10 et f(x) en milliers d'habitants. Les prévisions de l'Insee sur l'évolution de la population l'Allemagne sont modélisées par la fonction g(x)= -6,7x^2-39,2x+81953 pour l'année 2000 + x, avec -2 <(ou égal) x <(ou égal) 30 et g(x) en milliers d'habitants.


a. Calculer la population de l'Allemagne 2000 selon les deux modèles. Les deux valeurs sont-elles proches ?

b. Selon ces deux modèles, la population passe-t-elle par un maximum ou un minimum ?

c. Déterminer l'année au cours de laquelle la population est passée par un extremum suivant ces deux modèles, puis comparer ces années et la valeur des extremums.

d. On suppose que la population de l'Allemagne évolue suivant le modèle de la fonction g au-delà de l'année 2030.Déterminer l'année à partir de laquelle cette population descendra en dessous du seuil de 60 millions d'habitants.

e. Expliquer pourquoi ce modèle devra être, à terme, réévalué.


Répondre :

Bonjour,

a) 2000 = 2000 + 0

Donc f(0) = 82321 et g(0) = 81953

Soit une différence de : 82321 - 81953 = 368

Donc très faible écart entre les deux modèles

b) f(x) et g(x) sont des fonctions du 2nd degré du type u(x) = ax² + bx + c

avec :

. pour f(x), a = 17,951 > 0 donc f admet un minimum
. pour g(x), a = -6,7 < 0 donc g admet un maximum

c)

f'(x) = 2x17,951 x + 112,01 = 35,902x + 112,01

⇒ f'(x) = 0 ⇔ x = -112,01/35,902 ≈ -3,12

Ce qui correspond à l'année : 2000 - 3,12 soit 1996

g'(x) = 2x(-6,7x) - 39,2 = -13,4x - 39,2

⇒ g'(x) = 0 ⇔ x = 39,2/-13,4 ≈ -2,92

Ce qui correspond à l'année : 2000 - 2,92 soit 1997

f(-3,12) ≈ 82146
g(-2,92) ≈ 82010

Les deux modèles donnent une année maximale proche et une population très proche également.

d) g(x) < 60000 milliers

⇔ -6,7x² - 39,2x + 81953 = 60000

⇔ 6,7x² + 39,2x - 21953 = 0

Δ = 39,2² - 4x(6,7)x(-21953) = 1536,64 + 588340,4 = 589877,04

⇒ x = (-39,2 - √(589877,04))/2x6,7 ≈ -60,24 solution qu'on ne retient pas car correspondant à une année antérieure à 2000.

ou x = (-39,2 + √(589877,04))/2x6,7 ≈ 54,39

Soit en 2000 + 54 = 2054

e) Ce modèle donne une courbe représentative parabolique dont la tangente est de plus en plus verticale. Donc dont la précision est de plus en plus faible.
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