Bonjour,
1) M ∈ (¨P) ⇒ M(m;4 - m²)
Quand m tend vers 0, l'ordonnée de A tend vers 4 et l'abscisse de B tend vers l'infini.
Inversement, quand m tend vers 2, l'ordonnée de A tend vers l'infini et l'abscisse de B tend vers 2.
On peut donc conjecturer que l'aire du triangle OAB est minimale quand M est au milieu de l'arc de parabole, soit quand m = 1.
2) f(x) = 4 - x²
f'(x) = -2x
M(m;4 - m²)
(AB) : y = f'(m)(x - m) + f(m)
⇒ y = -2m(x - m) + 4 - m²
⇔ y = -2mx + m² + 4
3) A(0;yA)
A ∈ (AB) ⇒ yA = m² + 4
⇒ A(0;m²+4)
B(xB;0)
B ∈ (AB) ⇒ 0 = -2mxB + m² + 4
⇒ xB = (m² + 4)/2m
⇒ B( (m² + 4)/2m ; 0)
4) Aire OAB = OA x OB/2
⇒ Am = (m² + 4)(m² + 4)/4m
⇔ Am = (m² + 4)²/4m
5) f(x) = (x² + 4)²/4x sur ]0;2]
f'(x) = [4x(x² + 4)4x - 4(x² + 4)²]/16x²
⇔ f'(x) = [x² +4][16x² - 4(x² + 4)]/16x²
⇔ f'(x) = [x² + 4][12x² - 16]/16x²
⇔ f'(x) = (x² + 4)(3x² - 4)/4x²
Signe de f'(x) = Signe de (3x² - 4) = Signe de (√3x - 2)(√3x + 2)
x 0 2/√3 2
f'(x) || - 0 +
f(x) || décrois. croissante
6) On en déduit que f(x) atteint son minimum pour x = 2/√3
différent de la conjecture
