Bonjour,
1)
a) f est-elle injective :
Soit (x,x') ∈ Z² tel que x pair et x' impair, alors :
f(x) = f(x')
⇔ x/2 = (x' + 1)/2
⇒ x ≠ x'
Donc f non injective
exp : f(2) = 1 et f(1) = 1 donc f(2) = f(1) mais 2 ≠ 1
b) f est-elle surjective ?
Pour tout y ∈ Z, existe-t-il au moins une valeur de x ∈ Z tel que y = f(x) ?
La réponse est évidente et positive puisque f est définie par 2 fonctions affines. Tout élément de Z a un antécédent dans Z par f.
Donc f est surjective.
f n'est donc pas bijective.
2) A = {2p / p ∈ N}
A est donc le sous-ensemble des nombres pairs de N.
⇒ ∀x ∈ A, f(x) = x/2 = 2p/2 = p
⇒ f(A) = N
3) Restriction de f à A : f de A dans N ⇒ ∀x ∈ A, f(x) = x/2
4) Soit E' = Z ∪ {√2;-√2}
Une extension de f est une application g de E' dans Z / ∀ x ∈ Z, g(x) = f(x)
Par exemple :
g(x) = x/2 si x est pair
g(x) = (x + 1)/2 si x est impair
g(√2) = g(-√2) = 22
