Bonsoir,
Il est marqué dans ton cours de 1ère qu'une suite [tex](u_n)_{n \in \mathbb{N} }[/tex] est géométrique si et seulement si [tex]u_{n+1} = qu_n[/tex] où q∈ℝ
Donc il faut que tu prouves par le calcul que, pour tout n∈ℕ, [tex]b_{n+1} -a_{n+1} = q(b_n-a_n)[/tex] où q∈ℝ, quelque soit le signe de [tex]f(a_n)f( \frac{a_n+b_n}{2} )[/tex] :
Pour tout n∈ℕ,
- Si [tex]f(a_n)f( \frac{a_n+b_n}{2} ) < 0[/tex] alors :
[tex]b_{n+1} -a_{n+1} = [/tex] [tex]\frac{a_n+b_n}{2} -a_n = \frac{a_n+b_n}{2} - \frac{2a_n}{2} = \frac{a_n+b_n-2a_n}{2} = \frac{b_n-a_n}{2} = \frac{1}{2} (b_n-a_n)[/tex]
- Si [tex]f(a_n)f( \frac{a_n+b_n}{2} ) > 0[/tex] alors :
[tex]b_{n+1} -a_{n+1} = [/tex] [tex]b_n- \frac{a_n+b_n}{2} = \frac{2b_n}{2}- \frac{a_n+b_n}{2} = \frac{2b_n-(a_n+b_n)}{2} = \frac{2b_n-a_n-b_n}{2} = \frac{b_n-a_n}{2} = \frac{1}{2} (b_n-a_n)[/tex]
Donc la suite [tex](b_n-a_n)[/tex] est géométrique de raison [tex]q= \frac{1}{2} [/tex] et de premier terme [tex]b_0-a_0 = 2-1 = 1[/tex]
