Bonjour,
il faut remplacer et développer (snif)
Z = (iz + 3)/(z + 1 - i)
= [i(x + iy) + 3]/[x + iy + 1 - i]
= [(3 - y) + xi]/[(x + 1) + (y - 1)i]
= [(3 - y) + xi][(x + 1) - (y - 1)i]/[(x + 1)² + (y - 1)²]
= [((3 - y)(x + 1) + x(y - 1)) + ((3 - y)(1 - y) + x(x + 1))i]/[(x + 1)² + (y - 1)²]
= [(3x + 3 - xy - y + xy - x) + (3 - 3y - y + y² + x² + x)i]/[(x + 1)² + (y - 1)²]
= [(2x - y + 3) + (x² + y² + x - 4y + 3)i]/[(x + 1)² + (y - 1)²]
⇒
X = (2x - y + 3)/[(x + 1)² + (y - 1)²]
Y = (x² + y² + x - 4y + 3)/[(x + 1)² + (y - 1)²]
2) Z ∈ R ⇒ Y = 0
⇒ x² + y² + x - 4y + 3 = 0
⇔ (x + 1/2)² - 1/4 + (y - 2)² - 4 + 3 = 0
⇔ (x + 1/2)² + (y - 2)² = 5/4
Cercle de centre (-1/2;2) et de rayon √(5)/2
3) Z ∈ I ⇒ X = 0
⇔ 2x - y + 2 = 0
⇒ droite d'équation réduite y = 2x + 2
sous réserve de ne pas m'être planté dans les calculs :(
