Bonjour,
1)
z₁ = √2/2 + i√2/2
z₂ = 2i
z₃= -2√2 + 2i√2
z₄ = -8
z₅ = -8√2 - 8i√2
2) ci-joint
3) |zn+1| = 2|zn| et arg(zn+1) = arg(zn) + π/4
Donc OMn+1 = 2OMn et Angle(OMn;OMn+1) = π/4
On double la distance à O et on fait une rotation de π/4.
4) Par récurrence par exemple (même si on demande uniquement de justifier) :
z₀ = 1/2 et 1/2(√2 + i√2)⁰ = 1/2 donc vérifié au rang 0
Supposons vrai au rang n.
Au rang (n + 1) : Zn+1 = (√2 + i√2)zn
= (√2 + i√2) x 1/2(√2 + i√2)ⁿ par hypothèse de récurrence
= 1/2(√2 + i√2)ⁿ⁺¹
donc hérédité démontrée.
5) zn = x, avec x ∈ R⁺
On a vu que (OMn+1;OMn) = π/4
Donc pour tout point Mn, (OM₁;OMn) = k x π/4 avec k ∈ Z
Autrement dit, tous les points Mn appartiennent à l'une des 4 droites d'équation :
y = 0
y = x
x = 0
y = -x
Et Mn(a;b) a une affixe réelle positive ⇒ Mn appartient à la demi-droite d'équation y = 0 pour x ∈ [0;+∞[
Soit I(zn) = 0 et R(zn) ≥ 0
Ce qui est le cas de M₀, puis de M₈, etc..
Soit des points M8p avec p ∈ N
PS : Si tu as vu la forme exponentielle d'un nombre complexe : zn = 2ⁿ⁻¹e^(inπ/4)
6) u = OM₀ + OM₁ + ... + OM₇
⇒ Zu = z₀ + z₁ + ... + z₇
⇔ Zu = 1/2(√2 + i√2)⁰ + 1/2(√2 + i√2)¹ + ... + 1/2(√2 + i√2)⁷
... je te laisse réfléchir à la fin qui ressemble à la somme des 8 premiers termes d'une suite géométrique.
