Soit les points A(1;4) B(-2;-5) et C(3;0) dans une repère orthonormé. Ces 3 points sont sur une parabole P. Comme A,B et C sont sur P donc ils vérifient l'équation de la parabole y=ax²+bx+c.
On peut alors établir le système suivant:
4=a(1)²+b(1)+c=a+b+c (1)
-5=a(-2)²+b(-2)+c=4a-2b+c (2)
0=a(3²)+b(3)+c=9a+3b+c (3)
On prend (1) et on exprime a en fonction du reste et on introduit dans (2) et (3):
a=4-b-c (1)
-5=4(4-b-c)-2b+c=16-6b-3c soit -21=-6b-3 donc en simplifiant par -3:
7=2b+c (2)
0=9(4-b-c)+3b+c=36-9b-9c+3b+c=36-6b-8c soit en simplifiant par 2
0=18-3b-4c donc en simplifiant par -1
18=3b+4c (3)
On prends alors (2) et on exprime c en fonction de b et on introduit dans (1) et (3):
c=7-2b (2)
a=4-b-7+2b donc a=b-3 (1)
18=3b+4(7-2b)=3b+28-8b soit 5b=10 donc b=2
Comme on a: a=b-3 donc a=-1
Comme c=7-2b donc c=3
On en conclue alors que la parabole pour équation:
y=-x²+2x+3
