Bonjour,
1) Théorème des valeurs intermédiaires...
. f est croissante sur ]0;2[
. f(0) = 0
. f(1) = 1
et n ≥ 2 ⇒ 0 < 1/n ≤ 1/2 ⇒ f(0) < 1/n ≤ f(1)
Ces 4 points entrainent qu'il existe une unique valeur de x ∈ ]0;2[, notée Un, tel que f(Un) = 1/n
Idem pour Vn sur ]2;+∞[
2) (Un) est définie par f(Un) = 1/n pour tout n ≥ 2
Or n+1 > n et f(Un+1) = 1/(n+1) < 1/n ⇒ (Un) décroissante
⇒ lim Un quand n→+∞ = lim f(x) quand x→0 = 0
3) De même : f(Vn) = 1/n
et n+1>n ⇒ f(Vn+1) = 1/(n + 1) < 1/n ⇒ (Vn) décroissante
⇒ lim Vn quand n→+∞ = lim f(x) quand x→+∞ = 0
