Bonjour,
1) U₀ = 115
U₁ = 40% x U₀ + 120 = 166
U₂ = 40% x U₁ + 120 = 186
Résultats donnés à 1 unité près (1 oiseau)
2) Vn = Un - 200
Vn+1 = Un+1 - 200
= 0,40Un + 120 - 200
= 0,40Un - 80
= 0,40(Un - 80/0,40)
= 0,40(Un - 200)
= 0,40 x Vn
⇒ (Vn) suite géométrique de raison q = 0,40 et de premier terme V₀ = U₀ - 200 = -85
b) On en déduit : Vn = -85 x (0,40)ⁿ
c) Puis : Un = Vn + 200 = -85 x (0,40)ⁿ + 200
d) lim Un quand n→+∞ = lim(200 - 85(0,4)ⁿ) = 200 car 0,4ⁿ→0
e) Oui puisqu'au fil des années, le nombre d'oiseau recueilli ne dépassera jamais 200
4) 2018 = 2013 + 5
U₀ + U₁ + ... + U₅
= (200 - 85(0,4)⁰) + (200 - 85(0,4)¹) + ... + (200 - 85(0,4)⁵)
= 6 x 200 - 85[0,4⁰ + 0,4¹ + ... + 0,4⁵]
= 1200 - 85 x (1 - 0,4⁶)/(1 - 0,4) (somme des n+1 1ers termes suite géo)
= 1200 - 85/0,6 x (1 - 0,4)⁶
≈ 1058,9 arrondi à 1059
Donc le centre recevra : 1059 x 20 = 21178 €
