Bonjour,
1) D'abord, on calcule les coordonnées du vecteur directeur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] de la droite (AB) :
[tex]\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-(-1);2-1)=(6;1)[/tex]
Ensuite, on rappelle que le vecteur directeur d'une droite d'équation de la forme ax+by+c = 0 a pour coordonnées (-b;a), donc le vecteur directeur de la droite (d) a pour coordonnées (-4;5). Notons [tex]\overrightarrow{u}[/tex] un tel vecteur.
Enfin, comme nous sommes dans un plan, il suffit alors de montrer que les vecteurs [tex]\overrightarrow{u}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] ne sont pas colinéaires :
[tex]x_{\overrightarrow{AB}}*y_{\overrightarrow{u}}-y_{\overrightarrow{AB}}*x_{\overrightarrow{u}} = 6*5-1*(-4) = 34 \neq 0[/tex]
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{u}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] ne sont pas colinéaires, donc ils sont sécants en un point C.
2) D'abord, on détermine l'équation de la droite (AB). En utilisant le lien entre équation et vecteur directeur que j'ai expliqué dans la question précédente, on en déduit que pour tous réels x et y, (AB) admet pour équation (AB) : x-6y+c = 0, avec c un réel fixé. Or A∈(AB), donc [tex]x_A-6y_A+c = 0[/tex] , donc -1-6*1+c = 0, d'où -7+c = 0, donc c = 7
Donc (AB) admet pour équation (AB) : x-6y+7 = 0
Maintenant, pour déterminer les coordonnées du point C, on pose le système d'équations suivant :
[tex] \left \{ {{(AB)\,:\,x-6y+7 = 0} \atop {(d)\,:\,5x+4y-16 = 0}} \right. [/tex]
On va alors procéder par substitution :
5(AB)-(d) : 5x-5x-30y-4y+35-(-16) = 0 ⇒ -34y+51 = 0 ⇒ 34y = 51 ⇒ y = 3/2
On remplace alors y par 3/2 dans l'équation de la droite (AB) pour trouver la valeur de x :
(AB) : x-6(3/2)+7 = 0 ⇒ x-9+7 = 0 ⇒ x-2 = 0 ⇒ x = 2
Donc C(2;3/2)
