Bonjour,
1) Injectivité :
∀ a et b ∈ [1;+∞[, f(a) = f(b)
⇔ 2a² - 1 = 2b² - 1
⇔ a² = b²
⇔ a = b dans l'intervalle [1;+∞[
Donc f est injective.
Surjectivité :
∀ y ∈ [0;+∞[, f(x) = y
⇔ 2x² - 1 = y
⇔ x² = (y + 1)/2
⇔ x = √[(y + 1)/2], et alors x ∈ [1/2 ; +∞[
Donc pour y = 0, par exemple, 0 = f(x) n'a pas de solution dans [1;+∞[
⇒ f n'est pas surjective
donc f n'est pas bijective
Fonction g
Injectivité :
∀ a et b ∈ [0;+∞[, f(a) = f(b)
⇔ √(1 + a) = √(1 + b)
⇔ 1 + a = 1 + b
⇔ a = b
⇒ g est injective
Surjectivité :
∀ y ∈ R, f(x) = y
⇔ √(1 + x) = y
n'a de solution que si y ≥ 0
donc g n'est pas surjective
et donc non bijective
2) gof(x) = g[f(x)]
= √[1 + f(x)] (f(x) ∈ [0;+∞[ ⇒ (1 + f(x)) ∈ [1;+∞[
= √[1 + (2x² - 1)]
= √(2x²)
= x√2
fog(x) = f[g(x)]
= f[√(1 + x)]
= 2[√(1 + x)]² - 1
= 2(1 + x) - 1
= 2x + 1
