bonjour.
pour résoudre ces égalités et inégalités, tu devrais passer par la fonction réciproque du logarithme naturel qui est la fonction exponentielle, en sachant que exp(ln(x)) = x.
avec ça, tu pourras avoir plus facilement accès aux termes en x, et aller au bout des calculs.
1a) ln(3x - 4) = ln(2x +1) devient exp(ln(3x - 4)) = exp(ln(2x +1))
donc 3x -4 = 2x +1 et ça devient évident: x = 5.
si on regarde la contrainte sur le log naturel, ln(x) est vrai pour tout x>0.
donc on doit avoir 3x-4 > 0 ET 2x+1 > 0.
ce qui fait x > 4/3 et x > 1/2 donc finalement x > 4/3 (donc x = 5 trouvé plus haut est cohérent). le calcul est valable pour tout x > 4/3.
1b) je te laisse prendre en charge le 1b, et la détermination de l'ensemble de validité utilise la même méthode.
2a) le principe est le même, sauf qu'on se retrouve sur un cas d'inégalité.
donc de ln(5x +20) > ln(3x -2) on passe par la fonction exponentielle, et on arrive à 5x +20 > 3x -2, donc x > -11.
là aussi, tu dois avoir 5x +20 > 0 et 3x -2 > 0, donc x > -4 et x > 2/3, donc finalement x > 2/3. donc le x > -11 trouvé ci-dessus n'est pas suffisant, et on doit écrire que l'inégalité est vraie pour tout x > 2/3.
2b) toujours le même principe, mais cette fois on tombe sur de polynômes du 2nd degré.
pour l'ensemble de validité, tu devras vérifier comment doit être x pour que (x² -5x -14) > 0 d'une part, et (2x² -10x +8) > 0 d'autre part.
dans le 1er cas, j'ai trouvé un discriminant = 81, donc les deux racines devraient être x1 = -2 et x2 = 7. par conséquent, le terme (x² -5x -14) est positif sur les ensembles ]-∞;-2[ et ]7;+∞[.
dans le 2nd cas, j'ai trouvé un discriminant = 36, donc les deux racines devraient être x1 = 2 et x2 = 8. par conséquent, le terme (2x² -10x +8) est positif sur les ensembles ]-∞;2[ et ]8;+∞[.
en croisant les deux résultats, on arrive à x ∈ ]-∞;-2[ ∪ ]8;+∞[.
pour les 2 polynômes, on doit gérer
x² -5x -14 >= 2x² -10x +8, donc en simplifiant, x² -5x +22 <=0.
en calculant le discriminant, j'arrive à (25 -4*22) < 0, donc l'inégalité ci-dessus ne devrait pas avoir de solution dans R... bizarre !
soit je ne vois pas mon erreur, soit l'énoncé comporterait une erreur.
à vérifier avec le/la prof ?
bonne journée.
