Bonsoir,
1. Soient Pe et Pz deux propositions définies par, pour tous réels a et b,
Pe : (a+b)² = 0
Pz : a = 0 et b = 0
On pose a = 1 et b = -1, donc (a+b)² = (1+(-1))² = 0² = 0
Donc ici, (a+b)² = 0, et pourtant, a ≠ 0 et b ≠ 0
Donc la proposition (Pe ⇒ Pz) est fausse.
2. Soient P1 et P2 deux propositions définies par, pour tous réels a et b,
P1 : a² = b²
P2 : a = b ou a = -b
- On suppose que P1 est vraie.
Donc a² = b²
Donc |a| = |b|
Donc a = b ou a = -b ou -a = b
Or (-a = b) ⇔ (a = -b)
Donc a = b ou a = -b
Donc P2 est vraie, donc P1 ⇒ P2
- Réciproquement, on suppose que P2 est vraie.
Donc a = b ou a = -b
Donc a² = b² ou a² = (-b)²
Or (-b)² = b²
Donc a² = b² ou a² = b²
Or (a² = b²) ⇔ (a² = b²)
Donc a² = b²
Donc P2 est vraie, donc P2 ⇒ P1
- Donc, ayant démontré que P1 ⇒ P2 et que P2 ⇒ P1, alors P1 ⇔ P2
3. Pour tout réel x, on pose l'équation (2x-3)² = (3x+9)²
Donc d'après la question précédente, on a : 2x-3 = 3x+9 ou 2x-3 = -(3x+9)
D'où 2x-3 = 3x+9 ou 2x-3 = -3x-9
D'où x = -12 ou 5x = -6
Donc x = -12 ou x = -6/5
4. Pour tout réel x, on pose l'équation (2x-3)² = (3x+9)²
D'où 4x²-12x+9 = 9x²+54x+81
5x²+66x+72 = 0
Δ = 66²-4*5*72 = 2916 > 0, donc :
x = (-66-√2916)/(2*5) ou x = (-66+√2916)/(2*5)
x = (-66-54)/10 ou x = (-66+54)/10
x = -120/10 ou x = -12/10
Donc x = -12 ou x = -6/5
