Bonjour,
2)a) U0 = 2 donc propriété vérifiée au rang 0
Supposons qu'au rang n, Un ∈ [√2;2]
Au rang n+1 : Un+1 = f(Un)
D'après l'hypothèse de récurrence, Un ∈ [√2;2]
et on a montré au 1)b) que : x ∈ [√2;2] ⇒ f(x) ∈ [√2;2]
Donc Un+1 = f(Un) ∈ [√2;2]
Propriété héréditaire.
b) Pour tout n ∈ N, Un+1 - Un = f(Un) - Un = 1/2(Un + 2/Un) - Un = -Un/2 + 1/Un
= (2 - Un²)/Un
Or √2 ≤ Un ≤ 2, ⇒ 2 ≤ Un² ≤ 4 ⇒ 0 ≥ 2 - Un² ≥ -2
donc Un+1 - Un ≤ 0
⇒ (Un) décroissante
c) (Un est décroissante et bornée ⇒ (Un) est convergente
Soit l la limite de (Un). Quand n→+∞ :
lim Un = lim Un+1
⇒ l = lim f(Un)
⇔ l = lim 1/2(l + 2/l)
⇔ l = l/2 + 1/l
⇔ 2l² = l² + 2
⇔ l² = 2
⇒ l = √2
