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résolu

Bonjour, j’arrive pas à faire les questions de l’exercice . si on pouvait m’aider svp c’est un dm

Pour tout entier n superieur ou egal a 2, on considere la fonction fn definie sur 0;1 inclus par fn(x)= x^3 -2nx +1

1) demontrer que pour tout n superieur ou egal a 2, l’equation fn(x)=0 admet une une solution alpha n dans [0;1]
2 avec la calculette, donner une valeur approchée à 0,001 près de alpha 2 et alpha 3


Merci!

Maths TS

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) fn'(x) = 3x² - 2nx = 3(3x - 2n)

3x - 2n = 0 ⇔ x = 2n/3 > 1

x        0                                1
fn'(x)                   -
fn(x)   1     décroissante  2-2n

∀ n∈N / n≥2, 2-2n < 0 ⇔ fn(1) < 0
fn(0) = 1
et f  est décroissante sur [0;1]

⇒ il existe une unique valeur αn ∈ [0;1] / fn(αn) = 0

2) f₂(x) = x³ - 4x + 1 ⇒ α₂ ≈ 0,254 à 0,001 près

f₃(x) = x³ - 6x + 1 ⇒ α₃ ≈ 0,167 à 0,001 près
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