Bonsoir
1°) Une racine carrée est un nombre positif donc √11 > 0.
Donc [tex] \sqrt{6- \sqrt{11} } \ \textless \ \sqrt{6+ \sqrt{11} } [/tex]
Autrement dit, [tex] \sqrt{6+ \sqrt{11} } [/tex] est le plus grand nombre.
2°) Si C < B alors C - B < 0
Donc ici, puisque [tex] \sqrt{6- \sqrt{11} } \ \textless \ \sqrt{6+ \sqrt{11} } [/tex]
[tex] \sqrt{6- \sqrt{11} } - \sqrt{6+ \sqrt{11} } \ \textless \ 0[/tex]
3°) Il s'agit de développer une identité remarquable du type
(a - b )² = a² - 2ab + b²
en remplaçant (a) par [tex] \sqrt{6- \sqrt{11} } [/tex]
et (b) par [tex] \sqrt{6+ \sqrt{11} } [/tex]
[tex]A^{2}= (\sqrt{6- \sqrt{11} } - \sqrt{6+ \sqrt{11} } )^{2} [/tex]
Donc
[tex]A^{2}=6- \sqrt{11} -2\sqrt{6- \sqrt{11} } \sqrt{6+ \sqrt{11} } + 6+ \sqrt{11}[/tex]
[tex]A^{2} = 12- 2\sqrt{6- \sqrt{11} } \sqrt{6+ \sqrt{11} }[/tex]
[tex]A^{2} = 12- 2\sqrt{(6- \sqrt{11}) (6+ \sqrt{11})}[/tex]
Or [tex](6- \sqrt{11}) (6+ \sqrt{11})[/tex] est aussi une identité remarquable du type (a-b)(a+b) = a² - b²
[tex](6- \sqrt{11}) (6+ \sqrt{11})= 6^{2} - \sqrt{11}^{2} = 36 - 11 = 25[/tex]
Donc
[tex]A^{2} = 12 - 2 \sqrt{36-11} = 12-2 \sqrt{25} =12-2*5=12-10 = 2[/tex]
4°) Nous savons donc que A² = 2 (résultat de la question 3)et que A < 0 (résultat de la question 2).
Donc [tex]A = - \sqrt{2} [/tex]
