pour tout x ∈ R - {1}, f (x) = √2 x² + 7 - 3)/(x - 1)
il s'agit de la fonction f qui est le quotient d'une fonction continue sur R - {1} = IR
par une fonction x - 1 dite affine non nulle qui est aussi continue sur IR
Maintenant il faut montrer que f est continue en 1
pour tout x ≠ 1 ⇒ f (x) = √2 x² + 7 - 3)/(x - 1) = (√2 x² + 7 - 3)(√2 x² + 7 + 3)/(x - 1)(√2 x² + 7 + 3)
f (x) = (2 x² + 7) - 9]/(x - 1)(√2 x² + 7 + 3)
= (2 x² - 2)/(x - 1)(√2 x² + 7 + 3)
= 2 (x² - 1)/(x - 1)(√2 x² + 7 + 3)
= 2(x - 1)(x + 1)/(x - 1)(√2 x² + 7 + 3)
= 2(x + 1)/(√2 x² + 7 + 3)
lim 2(x + 1) = 4 et lim (√2 x² + 7 + 3) = 6
x →1 x→ 1
et comme f (1) = 4/6 = 2/3 ⇒ lim f (x) = f (1) ⇒ f est continue en 1
x→1
⇒ la fonction f est donc continue sur R
