Bonjour,
exo 1 :
1) Il faut x+1 ≠ 0 donc x ≠...
2) Tu pars de f(x)=x-1 + 1/(x+1) et tu réduis au même déno :
f(x)=[(x-1)(x+1)+1] / (x+1)
Tu développes le numé et tu retrouves le f(x) donné au début.
3) f(x)-(x-1)= 1/(x+1)
1/(x+1) > pour x+1 > 0 donc pour x > -1 donc sur ]-1;+∞[
Donc sur [-1;+∞[ : f(x)-(x-1) > 0 donc f(x) > x-1 donc Cf au-dessus de Δ
et sur ]-∞;-1[ on a Cf au-dessous de Δ.
4)
Je suppose que tu as vu les dérivées.
f est de la forme u/v :
u=x² donc u'=2x
v=x+1 donc v'=1
On trouve avec qq calculs :
f ' (x)=(x²+2x)/(x+1)²
f ' est du signe de x²+2x qui est < 0 entre les racines.
x²+2x=x(x+2) donc les racines sont x=0 et x=-2.
Tu feras un tableau de variation montrant que f est croissante sur :
[0;+∞[
b) On trouve x≈-0.6 et x≈1.6
6)
a) x²/(x+1)=1
x²=x+1
x²-x-1=0
Tu calcules les racines :
Δ=b²-4ac=(-1)²-4(-1)=5
Etc.
On trouve sur [0;+∞[ : x=(1+√5)/2
b)
1/α=1/[(1+√5)/2]=2/(1+√5)
α-1=(1+√5)/2- 1=(1+√5-2)/2=(√5-1)/2
On va multiplier par (√5+1)/(√5+1) qui vaut 1 et donc ne change pas la valeur de la fraction et on voit au numé (a-b)(a+b) qui donne a²-b²:
[(√5-1)/2]*[(√5+1)/(√5+1)]=(5-1)/2(√5+1)=4/2(√5+1)=2/(√5+1)
Donc 1/α=α-1
Exo 2 :
1)x+4 > 0 pour x > -4
5-x > 0 pour x <5
Il faut faire un tableau :
x------------->-∞..................-4..................5.................+∞
|x+4|-------->.....-x-4.............0....x+4...............x+4.......
|5-x|--------->.....5-x...................5-x.........0......x-5........
Sur ]-∞;-4] : f(x)=-x-4+5-x=-2x+1
Sur [-4;5] : f(x)=x+4+5-x=9
Sur [5;+∞[ : f(x)=x+4+x-5=2x-1
2) Voir graph joint.
3)On résout :
-2x+1=3 qui donne x=2 ∉]-∞;-4]
2x-1=3 qui donne x=1 ∉[5;+∞[
f(x)=3 n'a pas de solution.
