1) calculer (sin x)² + (cos x)² pour plusieurs valeurs de x comprises entre 0 et 90°
x = 0 ; sin 0 = 0 et cos 0 = 1 ⇒ (sin 0)² + (cos 0)² = 0 + 1 = 1
x = 30° ; sin 30° = 1/2 et cos 30° = √3/2 ⇒ (sin 30)² + (cos 30°)² = (1/2)² +
(√3/2)² = (1/4) + (3/4) = 4/4 = 1
x = 45° ; sin 45° = √2/2 et cos 45° = √2/2 ⇒ (sin 45°)² + (cos 45°)² = (√2/2)² +
(√2/2)² = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1
x = 60°; sin 60° = √3/2 et cos 60° = 1/2 ⇒ (sin 60°)² + (cos 60°)² = (√3/2)² +(1/2)²
= 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1
x = 90° ; sin 90° = 1 et cos 90° = 0 ⇒(sin 90°)² + (cos 90°)² = 1 + 0 = 1
2) quelle conjecture peut-on faire
∀x ∈ [0 ; 90°] (sin x)² + (cos x)² = 1
3) on considère un triangle ABC rectangle en A
b. Ecrire sin x et cos x en fonction de AB ; AC et BC
sin x = AB/BC et cos x = AC/BC
c. Exprimer (sin x)² + (cos x)² en fonction de AB ; AC et BC
(sin x)² + (cos x)² = (AB/BC)² + (AC/BC)² = AB²/BC² + AC²/BC²
AB²/BC² + AC²/BC² = (AB² + AC²)/BC²
En déduire une preuve de la conjecture formulée à la question 2
(sin x)² + (cos x)² = (AB² + AC²)/BC² = BC²/BC² = 1
puisque le triangle ABC est rectangle en A; donc d'après le théorème de Pythagore AB² + AC² = BC²
4) triangle rectangle DEF rectangle en D; on sait que cos D = 0.8
Calculer sin D et tan D
(sin D)² + (cos D)² = 1 ⇒ (sin D)² = 1 - (cos D)² = 1 - 0.8 = 0.2
(sin D)² = 0.2 ⇒ sin D = √0.2 = 0.447 ≈ 0.45
tan D = sin D/cos D = 0.45/0.8 = 0.56
