Bonsoir,
Soient k et k' des nombres entiers.
1) Un nombre pair est de la forme 2k
Un nombre impair est de la forme 2k+1
2) Soient a et b deux nombres entiers tels que a > b
- Pour a et b pairs :
a+b = 2k+2k' = 2(k+k'), donc la somme est paire.
a-b = 2k-2k' = 2(k-k'), donc la différence est paire.
ab = (2k)(2k') = 2(2kk'), donc le produit est pair.
- Pour a et b impairs :
a+b = (2k+1)+(2k'+1) = 2k+2k'+2 = 2(k+k'+1), donc la somme est paire.
a-b = (2k+1)-(2k'+1) = 2k+1-2k'-1 = 2k-2k' = 2(k-k'), donc la différence est paire.
ab = (2k+1)(2k'+1) = 2(2kk')+2k+2k'+1 = 2(2kk'+k+k')+1, donc le produit est impair.
- Pour a impair et b pair :
a+b = (2k+1)+2k' = 2(k+k')+1, donc la somme est impaire.
a-b = (2k+1)-2k' = 2(k-k')+1, donc la différence est impaire.
ab = (2k+1)2k' = 2(2kk')+2k' = 2(2kk'+k'), donc le produit est pair.
3) - Soient c et d deux entiers impairs consécutifs.
Alors c = 2k+1 et d = 2(k+1)+1 = 2k+2+1 = 2k+3
D'où c+d = 2k+1+2k+3 = 4k+4 = 4(k+1)
Donc la somme de deux entiers impairs consécutifs est un multiple de 4.
- Soient e et f deux entiers pairs consécutifs.
Alors e = 2k et f = 2(k+1) = 2k+2
Donc e+f = 2k+2k+2 = 4k+2 = 4(k+0.5)
Or k+0.5 n'est pas un entier, donc la somme de deux entiers pairs consécutifs n'est pas un multiple de 4.
4) Soit g un nombre pair, d'où g = 2k
Donc g² = (2k)² = (2²)(k²) = 4k² = 4(k²)
Donc le carré d'un nombre pair est un multiple de 4.
