Bonjour ;
1)
Quand la personne étrangère tape le code , soit aucun chiffre du code ne coïncide avec les chiffres du vrai code , donc X = 0 ; soit 1 ou 2 ou 3 chiffres, et exceptionnellement tous les chiffres de son code coïncident avec les chiffres du vrai code , donc X = 4 et la porte s'ouvre .
Conclusion : X ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} .
2)
Chaque fois que l'on tape au hasard un chiffre sur le clavier , le chiffre que l'on tape est l'un des 10 chiffres possibles , donc pour taper le chiffre qui coïncide avec le chiffre qu'on doit taper , on a 1 chance sur 10 , donc la probabilité de taper le bon chiffre est 1/10 = 0,1 .
La probabilité pour ne pas taper le bon chiffre est : 1 - 0,1 = 0,9 .
3)
La variable aléatoire X est égale au nombre de succès rencontrés au cours d'une répétition de n = 4 tentatives qui sont des épreuves de Bernouilli de probabilité p = 0,1 , donc la loi de probabilité de X est une loi binomiale, de paramètres n = 4 et p = 0,1 .
[tex]p(X =k) = C_n^k p^k (1-p)^{n - k} = C_4^k 0,1^k 0,9^{4-k} .[/tex]
4)
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
[tex]p(X =0) = C_4^0 * 0,1^0 * 0,9^{4-0} = 1 * 1 * 0,9^{4} = 0,6561 . [/tex]
[tex]p(X =1) = C_4^1 * 0,1^1 * 0,9^{4-1} = 4 * 0,1 * 0,9^{3} = 0,2916 .[/tex]
[tex]p(X =2) = C_4^2 * 0,1^2 * 0,9^{4-2} = 6 * 0,01 * 0,9^{2} = 0,0486 .[/tex]
[tex]p(X =3) = C_4^3 * 0,1^3 * 0,9^{4-3} = 4 * 0,001 * 0,9 = 0,0036 .[/tex]
[tex]p(X =4) = C_4^4 * 0,1^4 * 0,9^{4-4} = 1 * 0,0001 * 1 = 0,0001 . [/tex]
5)
La porte s'ouvre pour X = 4 , donc la probabilité est p(X = 4) = 0,0001 .
6)
L'événement "au moins un des chiffres tapés coïncide avec celui du code" est l'événement complémentaire de l'événement " aucun chiffre tapé ne coïncide avec celui du code" . La probabilité de ce dernier est :
p(X = 0) = 0,6561 , donc la probabilité de l'événement en question est :
1 - 0,6561 = 0,3439 .
