1 et 2/ Traduction des données de l'énoncé en équations (je vous laisse justifier chacun des passages à l'égalité suivante) :
[tex](-2a+b)e^{-2c}=0[/tex]
[tex]-2a+b=0[/tex]
[tex]a= \frac{b}{2}[/tex]
[tex]b=1[/tex]
[tex]f'(-1)=0\Longleftrightarrow ae^{-c}+(b-a)ce^{-c}=0[/tex]
[tex]a+(b-a)c=0[/tex]
[tex]c=\displaystyle - \frac{a}{b-a} [/tex]
Donc, par recoupement, (a,b,c) est nécessairement le triplet (1/2,1,-1)
3/ Pour le montrer, on peut choisir de déterminer une limite, par exemple :
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}} \left( \frac{1}{2}x+1\right)e^{-x}[/tex]
[tex]=\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}} e^{-x}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}} \frac{1}{e^x} =0[/tex]
où le passage de la première à la seconde ligne est justifié par des considérations de croissances comparées.
4/ Si on appelle g la fonction [tex]g: x\rightarrow x+2[/tex], nous pouvons écrire que pour tout x réel :
[tex]f(x)= \displaystyle \frac{1}{2} g(x)e^{-x}[/tex]
Et dès lors, en ôtant de nos considérations la valeur x = - 2 dont nous savons par un calcul rapide qu'elle répond déjà au problème, nous obtenons :
[tex]f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2} e^{-x}=1\Longleftrightarrow e^x= \frac{1}{2} [/tex]
Les réponses à la question sont donc les points d'abscisse - 2 et - ln (2).
